优化类数学模型课件.ppt

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1、优化类数学模型线性规划模型非线性规划模型整数规划模型§1最优化问题1．1最优化问题概念（1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共

2、同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。（2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。设问题中涉及的变量为x1,x2......xn；我们常常也用X=(x1,x2......xn)表示。（3）约束条件在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。用数学语言描述约束

3、条件一般来说有两种：等式约束条件不等式约束条件注：在最优化问题研究中，由于解的存在性十分复杂，一般来说，我们不考虑不等式约束条件。这两种约束条件最优化问题最优解的存在性较复杂。（4）目标函数在最优化问题中，与变量有关的待求其极值（或最大值最小值）的函数称为目标函数。目标函数常用表示F(x)=f(x1,x2......xn)表示。当目标函数为某问题的效益函数时，问题即为求极大值；当目标函数为某问题的费用函数时，问题即为求极小值等等。求极大值和极小值问题实际上没有原则上的区别，因为求的极小值，也就是要求的极大值，两者的最优值在同一点取到。1．2最优化问题分类

4、最优化问题种类繁多，因而分类的方法也有许多。可以按变量的性质分类，按有无约束条件分类，按目标函数的个数分类等等。一般来说，变量可以分为确定性变量，随机变量和系统变量等等，相对应的最优化问题分别称为：普通最优化问题，统计最优化问题和系统最优化问题。(1)按有无约束条件分类：无约束最优化问题，有约束最优化问题。(2)按目标函数的个数分类：单目标最优化问题，多目标最优化问题。(3)按约束条件和目标函数是否是线性函数分类：线性最优化问题（线性规划），非线性最优化问题（非线性规划）。(4)按约束条件和目标函数是否是时间的函数分类：静态最优化问题和动态最优化问题（动

5、态规划）。．3最优化问题的求解步骤和数学模型（1）最优化问题的求解步骤最优化问题的求解涉及到应用数学，计算机科学以及各专业领域等等，是一个十分复杂的问题，然而它却是需要我们重点关心的问题之一。怎样研究分析求解这类问题呢？其中最关键的是建立数学模型和求解数学模型。一般来说，应用最优化方法解决实际问题可分为四个步骤进行：求解步骤步骤1：建立模型提出最优化问题，变量是什么？约束条件有那些？目标函数是什么？建立最优化问题数学模型：确定变量，建立目标函数，列出约束条件——建立模型。步骤2：确定求解方法分析模型，根据数学模型的性质，选择优化求解方法——确定求解方法。

6、步骤3：计算机求解编程序（或使用数学计算软件），应用计算机求最优解——计算机求解。步骤4：结果分析对算法的可行性、收敛性、通用性、时效性、稳定性、灵敏性和误差等等作出评价——结果分析。线性规划（LinearProgramming）运筹学的一个分支，主要用于生产计划、物资运输、库存、劳动力分配以及最优设计问题等。类似于条件极值问题，只是其目标函数和约束条件都是线性函数。线性规划模型的特点1.比例性:每个决策变量对目标函数和每个约束条件右端项的“贡献”与该变量的取值成比例；2.可加性:每个决策变量对目标函数和每个约束条件右端项的“贡献”与其他变量的取值无关；

7、3.连续性:每个决策变量的取值是连续的。线性规划模型的三个要素决策变量：根据实际问题所选择的可以控制的因素；目标函数：以线性函数形式表示所追求的目标；约束条件：决策变量需要满足的限定条件，一般是一组线性等式或不等式。二、线性规划模型的求解（一）图解法（n<=3时）（二）单纯形法（三）数学软件：如LINDO软件例1某公司生产甲、乙两种产品，每吨销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲产品需要用A、B机器加工，加工时间分别为每吨2小时和1小时；生产乙产品需要用A、B、C三种机器加工，加工时间为每吨各1小时。若每天用于加工的机器时数分别为A机器10小时

8、、B机器8小时、C机器7小时，问该厂每天应该生产甲、乙两种产品各多少吨才能使利润