利用直角坐标计算二重积分课件.ppt

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1、设区域D关于x轴对称,且x轴的上方部分为D1,如果函数f(x,y)关于y为偶函数,则如果f(x,y)关于y为奇函数,则几何意义应用xyzozyxo类似一元函数的对称性若积分区域关于x（y）轴对称，被积函数为y（x）的奇函数，则积分值为零。被积函数为y（x）的偶函数积分值为x轴上方（y轴右方）积分值的两倍。在利用被积函数的奇偶性化简二重积分时，既要要求被积函数关于y（或x）具有奇偶性，又要要求积分区域关于x（或y）轴具有对称性，二者缺一不可。第二节二重积分的计算法（1）二、小结思考题一、利用直角坐标系计算二重积分二重积分的计算方法类似于

2、一元函数的定积分的计算。按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对于一般的函数和区域来说，这不是一种切实可行的方法。下面介绍一种计算二重积分的方法，就是把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。定积分的应用复习1、求曲边梯形的面积2、平行截面面积为已知的立体的体积如果已知立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．3、二重积分的几何意义表示以曲面z=f(x,y

3、)为顶,D为底的曲顶柱体的体积.(1)设z=f(x,y)0,(x,y)D(2)设z=f(x,y)0,(x,y)D表示曲顶柱体体积的负值.表示这些部分区域上的柱体体积的代数和.(3)若z=f(x,y)在D上若干部分区域是正的,在其它部分区域是负的.利用几何方法讨论二重积分的计算问题假定y0xzyabcdDz=f(x,y)一、利用直角坐标系计算二重积分1、D为矩型区域D是矩形区域[a,b;c,d]平行截面面积为已知的立体的体积y0xzyabcdDz=f(x,y)..一、利用直角坐标系计算二重积分1、D为矩型区域D是矩形区域[a,b

4、;c,d]A(y)=0xzyyabcdD.z=f(x,y)一、利用直角坐标系计算二重积分1、D为矩型区域D是矩形区域[a,b;c,d]A(y)=V请你动手由于积分区域关于x轴y轴都对称，被积函数为x和y的偶函数，所以2、D为曲线型区域如果积分区域为：［Y－型］(1)Y型区域Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.0xzycdDz=f(x,y)x=2(y)x=1(y)yD:1(y)x2(y)cyd0xzycdDz=f(x,y).y..A(y)=D:1(y)x2(y)cydx=

5、2(y)x=1(y)x=1(y)0xzyycdD.z=f(x,y)D:(y)x(y)cydV=x=2(y)A(y)=(2)x型区域如果积分区域为：［X－型］X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.xzyabDz=f(x,y)xD:1(x)y2(x)axbX型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.如图所示，分割后的三个区域分别为X-型区域（或Y-型）利用积分公式则必须分割.若

6、区域既不是X-型，又不是Y-型。若区域既不是X-型，又不是Y-型。若区域既是X-型，又是Y-型。总结：1°画出积分区域D的草图2°根据积分区域类型，选择积分次序，确定积分上下限。将二重积分转化为二次积分计算，关键是确定积分限后积先定限，限内画直线，先交为下限，后交为上限［X－型］D—X型D—Y型［Y－型］解法一1°画草图2°确定D的类型（确定积分次序）注意：对谁求积分，谁看作变量，其余看作常量计算。解法二1°画草图2°确定D的类型（确定积分次序）例2解法一解法二计算其中是由直线，及所围成的闭区域。例3解计算其中是由直线所围成的闭区域。

7、，，及（计算比较麻烦）解1°画草图2°确定D的类型（确定积分次序）D—X型D—Y型例5计算其中是抛物线及直线所围成的区域。，解：（计算比较麻烦）解积分区域如图积分区域将二重积分化为二次积分计算时，要注意选择积分次序即要考虑积分区域（一般分块越少越好）又要考虑被积函数（一般先积分的容易求，并为后积分的作准备）解积分区域如图积分区域解原式=D1D2D3解积分区域为立体在xoy面上的投影如图所示.解二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结［Y－型］［X－型］思考题解答总结：当被积函数可以分离，积分区域为矩形域时，

8、一个二重积分可以写成两个单积分的乘积。思考题设且要求：从中找出规律练习题练习题答案