复变函数论第三版钟玉泉5解析函数的洛朗展式与孤立奇点课件.pptx

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1、12021/9/2第一节解析函数的洛朗展式1.双边幂级数2.解析函数的洛朗展式3.洛朗级数与泰勒级数的关系4.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式5.典型例题第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点22021/9/21.双边幂级数定义称级数（1）为双边幂级数（1）的系数。双边幂级数为双边幂级数，其中复常数负幂项部分非负幂项部分主要部分解析部分注:主要部分与解析部分同时收敛称幂级数收敛32021/9/2若收敛域为的收敛半径为R,收敛域为时收敛,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:这时,级数(1)在圆环H:r<

2、z-a

3、

4、f1(z)+f2(z)42021/9/2定理5.1设双边幂级数(1)的收敛圆环为H:r<

5、z-a

6、

7、z-a

8、

9、nt)展式定义5.1(2)式称为f(z)在点a处的罗朗展式，(3)称为其罗朗系数，而(2)右边的级数则称为罗朗级数。(3)注:泰勒级数是罗朗级数的特殊情形。3.洛朗级数与泰勒级数的关系72021/9/2例1求函数分别在圆环及的洛朗级数。(1)在圆环内于是有洛朗级数解82021/9/2(2)在圆环　　　　上,,于是有洛朗级数解例1求函数分别在圆环及的洛朗级数。92021/9/2例2求函数在内的洛朗级数。例3求函数在内的洛朗级数。例4求函数在内的洛朗级数。102021/9/24.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式定义5.2如果f(z)在点a的某

10、一去心邻域K-{a}：0<

11、z-a

12、

13、z-a

14、

15、32021/9/2第二节解析函数的有限孤立奇点2.孤立奇点的性质3.Picard定理4.Schwarz引理1.孤立奇点的分类142021/9/21.孤立奇点的分类如a为f(z)的孤立奇点,则f(z)在a的某去心邻域K-{a}内可以展成罗朗级数则称为f(z)在点a的正则部分,而称为f(z)在点a的主要部分。152021/9/21.孤立奇点的分类定义5.3设a为f(z)的孤立奇点.(1)如果f(z)在点a的主要部分为零,则称a为f(z)的可去奇点;(2)如果f(z)在点a的主要部分为有限多项,设为则称a为f(z)的m阶极点，一阶极点也称为简单极

16、点；(3)如果f(z)在点a的主要部分有无限多项,则称a为f(z)的本性奇点.162021/9/2定理5.3若a为f(z)的孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，它们中的任何一条都是可去奇点的特征。(2)(1)f(z)在点a的主要部分为零;(3)f(z)在点a的某去心邻域内有界。2.可去奇点的性质172021/9/2证(1)(2).由(1)有因此182021/9/2证(2)(3).因(3)(1).因主要部分的系数其中,可任意小，故192021/9/2Schwarz引理如果函数f(z)在单位圆

17、z

18、<1内解析,并且满足条件f(0)=0,

19、

20、f(z)

21、<1(

22、z

23、<1)，则在单位圆

24、z

25、<1内恒有

26、f(z)

27、≤

28、z

29、,且有.3.施瓦茨(Schwarz)引理如果上式等号成立,或在圆

30、z

31、<1内一点z0≠0处前一式等号成立,则(当且仅当)其中α为一实常数.202021/9/24.极点的性质定理5.4如果f(z)以a为孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，它们中的任何一条都是m阶极点的特征。(1)f(z)在a点的主要部分为(2)f(z)在点a的某去心邻域内能表示成其中λ(z)在点a的邻域内解析,且λ(a)≠0以点a为m阶零点。注意第(3)条表明：f(z)以点a为m阶极点的充要条件是以点

32、a为m阶零点。定理5.5f(z)的孤立奇点a为极点212021/9/2定理5.6f(z)的孤立奇点a为本性奇点5.本性奇点的性质定理5.7若z=a为f(z)的本性奇点,且在点