解析函数的泰勒展式课件.pptx

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1、§4.3解析函数的泰勒展式1、泰勒(Taylor)定理2、幂级数和函数在收敛圆周上的状况3、一些初等函数的泰勒展式问题的引入前面我们证明了:一个收敛半径为正的幂级数，在其收敛圆内收敛于一个解析函数。反之，是否成立？任一个解析函数能用幂级数来表示，即有下面我们证明其逆也真。(4.9)D定理4.14(泰勒定理)设f(z)在区域D内解析,a∈D,只要K:

2、z-a

3、

4、u

5、<1).(4.

6、10)总有一个圆周:使点z含在中虚线表).由柯西积分公式得azD图4.1的内部(图4.1表示为一个含有z-a的正幂次级数.为此改写：(4.11)我们设法将被积式:由时,由于应用公式(4.10),我们有右端的级数在上(关于)是一致收敛的.以上的有界函数相乘,仍然得到上的一致收敛级数.于是(4.11)表示为上一致收敛级数由定理3.13知最后得出其中的系数cn由公式(4.9)给出.上面证明对于任意z∈均成立,故定理的前半部分得证.下面证明展式是唯一的.设另有展式由定理4.13(3)即知(n=0,1,2,…),故展式是唯一的.注1定义4.6

7、(4.8)称为f(z)在点a的泰勒展式,(4.9)称为其泰勒系数,而(4.8)右边的级数,则称为泰勒级数.注（2）由第三章的柯西不等式知若f(z)在

8、z-a

9、0,且则f(z)在收敛圆周C:

10、z-a

11、=R上至少有一奇点,即不可能有这样的函数F(z)存在,它在

12、z-a

13、

14、样的F(z)存在,这时C上的每一点就都是某圆O的中心,而在圆O内F(z)是解析的.z1a2、幂级数和函数在收敛圆周上的状况K/:

15、z-a

16、

17、z-a

18、0表示C到G的边界的距离(参看第三章定理3.3注).于是F(z)在较圆K大的同心圆z1z

19、2z3z2z5z2z6z8z9z10a注(1)纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛,其和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点.(2)这个定理,一方面建立了幂级数的收敛半径与此幂级数所代表的函数的性质之间的密切关系;同时还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄的完全明白.思考题p161:（1）与（2）3、幂级数的运算(1).幂级数的有理运算(2).幂级数的代换(复合)运算如果当时,又设在内解析且满足那末当时,说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.三、将函数展开成泰勒级数常用方法:直接法和间接法.1.直接法:由泰勒展开定理计算系数例如，故有

20、仿照上例,例2求Ln(1+z)的下列解析分支在z=0的泰勒展式解：已给解析分支在z=0的值为0，它在z=0的一阶导数为1，二阶导数为-1，n阶导数为因此，它在z=0或在

21、z

22、<1的泰勒展式是：其收敛半径1。从而附:常见函数的泰勒展开式2.间接展开法:借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.（1）利用已知级数求展式四、典型例题例1例2解例3解重要结论：几何级数重要

23、结论：几何级数例4例5解（2）逐项求导法上式两边逐项求导,例6解（3）逐项求积法（4）利用级数的乘法（或柯西乘积）例7例7解即微分方程对微分方程逐次求导得:（4）利用级数的乘法（或柯西乘积）五、小结与思考通过本课的学习,应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.一些初等函数的泰勒展式奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题奇函数的泰勒级数只含z的奇次幂项,偶函数的泰勒级数只含z的偶次幂项.思考题答案泰勒资料Born:18Aug1685inEdmonton

24、,Middlesex,EnglandDied:29Dec1731inSomersetHouse,London,EnglandBrookTaylor泰勒简介泰勒在数学上多产的时期．他的两本著作：《正和反的增量法》及《直线透视》(Line