2014年北京市中学生数学竞赛_初二_.pdf

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1、2014年第期年北京市中学生数学竞赛（初二）中图分类号文献标识码：文章编号：一题分、选择题每小，共分）‘若则幻表示不超过实数的最大整数在四边形仙中，已知，°丁（々（丁已知是连续的个自然数，，已知一个面积为且边长为的正六的最小公倍数若的约数中恰被这个自然“”边形，其六条最短的对角线两两相交的交点数中的个数整除，称其为的好数则的好数构成一个面积为的小正六边形的顶点则设由的自然数写成的数列为则丄丄——（（‘‘‘在数、、、中，可的最大值为以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是三、（分）已知证明…、、三个数中至少有两个相等四、（分在凸四边形仙中，巳知。仙。已知，，是反比例函数〔，

2、且处￡￡在平面直角坐标系的第象社随五、（分某校对参加数学竞赛的选手的准考证进行编号，最小号为，最大号为无的两点满足“则，论哪名选手站出来统计本校其他所有选手准考证号数的平均值时，发现所得的平均值均为整数问这所学校参加竞赛的选手最多有多少名？有个整数，任取其中个相加，案：其和恰可取到…这个不同的整，，一数值则这个整数之和为（）：二、填空题每小题分，共分）在的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有个30中等数学…不妨假设似，，，如图观察得出务则输故火除以的余数为从而，当，时取到二、注意到在的自然数中完全平方数共有个注意到三个连续自然数、￥的两因为两乘积的和具有形

3、式，—所以，兀全义方数共有个上式被除余，而和被除接下来考虑的自然数中，既是完全平方数也是完全立方数（即完全六方数）的个均余被整除则排除选项、、事实上，被除余，且数由于，，因此完全六方数共有个由容斥原理，知在的自然数中既如图，添加辅助线，设与交于点不是完全平方数也不是完全立方数的个数为‘注意到，，…‘图由‘西边形如图，延长、四边形肪梯交于点对设他则个、丄、士过点作丄图…于点设个整数为，巧，，巧。，记…在、中，分别有。巧丨2014年第期’于是’如三、注意到，则丨—…易知似由于、均大于因此，因此一，、、中至少有个等于，，即、、三个数中至少有两个相等四、如图，作点关于的对称点联

4、结’五孤￡別；三角形、、则厶为正每一个均为似的约数且恰被其余个数整除中的次数减，则—为的约数，且恰被除去以外的个数整除同理，的次数减，则孤则仙。了设幺仅他仰为的约数，所以，，且恰被除去以外的个数整除；因为°°而似中的次数减，则为似的约数且恰在八腳中，因为仙册，所以，被除去、節以外的个数整除若去掉，则——为的约数且恰被除去、以外的个数整除了综上，的约数中恰能被这个自然数中的故。°°■个整除的有四个，、、告、普。。。由，知由题意记三点共线—由对称性知乙因此，平分五、设该校共有名选手参赛其准考证号依上式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项次为一一正中得到、负两个自然数，为了使和

5、达到最，大的可能值只须由取负，由取正，依题意知32中等数学年全国高中数学联赛天津赛区预赛中田分类号文献标识码：：文章编号一、选，择题每小题分，共分）并与直线异面动点在平面《上且到直线、在平面直角坐标系中，方程的距离相等则点的轨迹为（）；町直线（摘圆所表示的图形为（（抛物线（双曲线）直线：（抛物线在厶他〔中，若也、、均为整一个点以上均不对数以下选项错误的是（，且则已知圆柱的底面半径为，高为，体积为（丄。。表面积为则（，士。。（二、填空题每小题分共分）已知等比数列丨丨的前项和为，并且，右正头数、满足对任意正整数“均有、则贝或或设了卜若关于％的不等式七丄在区间丨丨的小数点后第

6、一上恒成立则实数的取值范围为，位数字为（）当时，已知数列满足，，叫〒丁直线在平面上。，直线平行于平面，若则巧、由于为整数从而⑶”的、，为，，，—「—对任意均有约数注意到不超过的最大￡‘约数为于是，即参赛选手最，的最大值为于是，多有名故、这样的名选手的号码是可以实现的如……一，’巧，）因此，该校参加竞赛的选手最多有名李延林提供）