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1、高等代数课堂笔记第七章第七章线性变换§7.1线性变换的定义与判别一、线性变换的定义：定义1设V为数域P上线性空间，A为V的一个变换(即V⟶V的映射)，若A保持加法和数乘运算，即A(?+?)=A(?)+A(?),∀?,?∈V，A(??)=?A(?),∀?∈?，则称A为V的一个线性变换.注记：以后我们用花体拉丁字母A,B,C,...表示V的线性变换，除了特别说明外，本章节中V均指数域P上有限维线性空间.例1.说明下列变换均为线性变换：(1)把V中任一向量都映射为0（称为零变换，记作0）；(2)把V中任一向量?映射为本身（恒等变换
2、，记作E）；(3)取定?∈?，把V中的每一个向量?映射为??（数乘变换，记作k）.例2.判定下列规则σ是否为指定线性空间的线性变换：(1)ℝ,x-:?(?(?))=?′(?);?(2)C,?,?-:?(?(?))=∫0?(?)d?;(3)??×?:?(A)=A+A′,?2(A)=SAT，S,T为固定二个?×?矩阵.(4)ℝ,x-?:?1(?(?))=??(?),?2(?(?))=?(?)+1.解：可验证(1)-(3)均为线性变换，下面证明(1)：∀?(?)∈ℝ,x-，其导函数唯一确定，且?(?)∈ℝ,x-，因而σ为V⟶V的变
3、换，即V的一个变换，′?(?(?)+?(?))=(?(?)+?(?))=?′(?)+?′(?)=?(?(?))+?(?(?)),′∀?∈ℝ,?(??(?))=(??(?))=??′(?)=??(?(?)).(4):?与?均不是线性变换，取?(?)=??−1+1=ℝ,x-，但?(?(?))=??(?)=??+?∉ℝ,x-，12?1?因而?1不是ℝ,x-?的一个变换，?2是ℝ,x-?的一个变换，但运算不保持，因而不是线性变换.习题：P320、1例3.设?为通常几何空间ℝ3中固定的向量，把空间中每个向量?映L(?∙?)3射为?在?
4、上的内映射（正投影），即Π?:?⟶?是ℝ的线性变A(?∙?)D换，这里(?∙?),(?∙?)表示通常向量的内积.??1?(?∙?)证：如图，Π?(?)=OD⃗⃗⃗⃗⃗=?cos(?∙?)=?，唯一确定，
5、?
6、(?∙?)从而Π?为ℝ3的一个变换，O?2CW如图，AC⊥W(垂足为C)，第1页高等代数课堂笔记第七章因此L与W为ℝ3的子空间且ℝ3=?⊕L，令?=?1+?2,?1=OD⃗⃗⃗⃗⃗=Π?(?),?2∈?,?=?1+?2,?1=Π?(?)∈L,?2∈?，则?+?=(?1+?1)+(?2+?2),?1+?1∈L,?2+?2∈
7、?，从而Π?(?+?)=?1+?1=Π?(?)+Π?(?)，同理，Π?(??)=?Π?(?).二、线性变换的性质：设A为V的线性变换，则：(1)A(?)=?,A(−?)=−A(?),∀?∈V;(2)A(?1?1+?2?2+⋯+????)=?1A(?1)+?2A(?2)+⋯+??A(??);(3)A把线性相关的向量组映射为线性相关的向量组（反之不真）.2011-04-02A:V⟶V线性变换性质：(3)A为V中线性相关的向量组，映为V中线性相关的向量组，即?1,?2,…,??相关⟹A(?1),A(?2),…,A(??)相关;？但
8、A(?1),A(?2),…,A(??)线性相关⇒?1,?2,…,??相关.如A=0,∀?∈V,?≠?,A(?)=0.(4)设?1,?2,…,??为V的一个基，∀?∈V,?=?1?1+?2?2+⋯+????⟹A(?)=A(?1?1+?2?2+⋯+????)线性变换A由V中一个基中的像唯一确定;(5)设?1,?2,…,??为V的一个基，则对V中任一向量组?1,?2,…,??必存在一个线性变换A:V⟶V，使得：A(??)=??,1≤?≤n;证：作V⟶V映射：A(?)=?1?1+?2?2+⋯+????，其中：?=?1?1+?2?2+
9、⋯+????,则A(??)=??,1≤?≤n;下证：A为V的线性变换：∀?=?1?1+?2?2+⋯+????∈V,?=?1?1+?2?2+⋯+????∈V,A(?+?)=A.(?1+?1)?1+(?2+?2)?2+⋯+(??+??)??/=(?1+?1)?1+(?2+?2)?2+⋯+(??+??)??=(?1?1+?2?2+⋯+????)+(?1?1+?2?2+⋯+????)=A(?1?1+?2?2+⋯+????)+A(?1?1+?2?2+⋯+????)=A(?)+A(?)同理，∀?∈P，A(??)=?A(?).§7.2线性
10、变换的运算为方便，引入记号：Hom(V,V)，它表示数域?上线性空间V的所有线性变换的集合。这样，“A为V的线性变换”，可表述为“A∈Hom(V,V)”.第2页高等代数课堂笔记第七章一、线性变换运算的定义：B∀A,B∈Hom(V,V)定义，与A与B的乘积AB为：AB(?)=A(B(?));
