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1、高等代数课堂笔记第五章第五章二次型§5.1二次型与对称矩阵一、二次型：平面上：a?2+2???+??2=?(1)——平面上有心二次曲线空间中：a?2+2???+2???+2???+??2+??2=?(2)——空间中有心二次曲面定义1数域ℙ上一个n元二次齐次多项式，一般形式为：．．．．?(?1,?2,⋯,??)=?11?2+2?12?1?2+⋯+2?1??1??1+??2+2???+⋯+2???22223232?2?+⋯+??2(3)???称(3)为一个n元二次型.令???=???(?≤?≠?≤?)，(3)可表示为以下对称形式．．．．：?(?1,?2,⋯,??)=?
2、11?2+?12?1?2+?13?1?3+⋯+?1??1??1+???+??2+???+⋯+???212122223232?2?+???+???+??2+⋯+???313132323333?3?⋯⋯⋯⋯⋯⋯+???+???+???+⋯+??2(4)?1?1?2?2?3?3???把(4)的虚数按原来次序排列得n×n矩阵：?11?12⋯?1??1?21?22⋯?2??2A=(???)?=[⋯⋯⋯⋯]，取X=(⋮,，?21?22⋯?2???则(4)可表示为矩阵形式：?(?1,?2,⋯,??)=X′AX(5)称(5)中的矩阵Α为二次型f(?1,?2,⋯,??)的矩阵.由定
3、义：A=A′，这样的矩阵称为对称矩阵.例1.求下列二次型的矩阵：(1)?(?1,?2,⋯,??)=?2+2?2+3?2+4?2+?1?3+?2?41234?11010′?20201(2)?(?1,?2,⋯,??)=XBX，X=(?)，其中B=(0030)3?4000421解：(1)?(?1,?2,⋯,??)=?1+0?1?2+?1?3+0?2?4221+0?2?1+2?2+0?2?3+2?2?412+2?3?1+0?3?2+3?3+0?3?412+0?4?1+?4?2+0?4?3+4?42由此得?的矩阵为：第1页高等代数课堂笔记第五章110021020A=2(A=
4、A′)103021(0204)(2)由条件：?(?1,?2,⋯,??)=X′BX=?2+2?2+3?2+4?2+?1?3+?2?41234由(1)得?矩阵为A.?1?20?′思考题：设X=(⋮,，A=(???)?×?，求二次型?(?1,?2,⋯,??)=
5、
6、的矩阵。−????二、非退化线性替换与矩阵的合同：定义2∀A,B∈??×?，若存在可逆矩阵C∈??×?，使得B=C′AC，则称矩阵A与B合同，记作A≃B.注记：合同是??×?的等价关系：．．．．(1)反身性：A≃A(E′AE=A);(2)对称性：A≃B⟹B≃A;CB=C′A⟹A=(?−1)′B?−1;(3)传递
7、性：A≃B,B≃C⟹A≃C.定义3若存在数域ℙ中的一组关系式：?1=?11?1+?12?2+⋯+?1???{?2=?21?1+?22?2+⋯+?2???(6)⋯⋯⋯⋯??=??1?1+??2?2+⋯+?????称为由文字?1,?2,⋯,??到?1,?2,⋯,??的一个线性替换.若(6)的系数矩阵行列式
8、???
9、≠0，则称(6)为非退化线性替换.?1?1?2?2令C=(???)?×?为(6)的系数矩阵，则(6)可表示为：X=CY，其中X=(⋮,，Y=(⋮,，????称C为(6)的替换矩阵.由定义，?(?1,?2,⋯,??)=X′AX，X=CY
10、C
11、′≠0，?(?1,
12、?2,⋯,??)=(CY)′A(CY)=Y′(C′AC)Y，显然(C′AC)′=C′AC，因而新的二次型为g(?1,?2,⋯,??)=Y′BY，其矩阵B=C′AC与A合同.定义4X′AX与Y′BY为ℙ上的二个n元二次型，若存在非退化线性替换X=CY，把X′AX化为Y′BY，则称二次型X′AX与Y′BY等价.命题1数域ℙ上一个二次型X′AX与Y′BY等价当且仅当A与B合同.注记：由前面的讨论知：σ:X′AX⟼A(A′=A)Y为1-1对应，?≃?⟺σ(?)≃σ(?).1212§5.2标准形定义1若数域ℙ上n元二次型X′AX，通过非退化线性替换为只含平方项的二次型：第2
13、页高等代数课堂笔记第五章?1??2+??2+⋯+??2=Y′(?2,Y(1)1122??⋱??则称其?的标准形.．．．例1.证明下列两矩阵合同：?1?2A=(,=????(?1,?2,⋯,??)⋱????1??2B=(,=????(??1,??2,⋯,???)⋱???其中，?1,?2,⋯,??为1,2,⋯,n的一个排列.解：显然A与B均为对称矩阵，记A与B对应的二次型为：??(?1,?2,⋯,??)=?1?12+⋯+????2??(?1,?2,⋯,??)=??1?12+⋯+?????2??1=?1??2=?2作非退化线性替换：{⋮，则??化为??，即??≅??，?
14、??=??
