高等数学第八章向量代数与空间解析几何（数学一）.doc

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1、第八章向量代数与空间解析几何（数学一）第一节向量代数中的若干运算一、向量的概念1．定义：既有大小又有方向的量称为向量。2．坐标形式：3．模与方向余弦：记与轴、轴、轴正向的夹角分别为，则，，且方向余弦间满足关系。描述了向量的方向，常称它们为向量的方向角（在与之间）。的模可以表示为。向量同方向上的单位向量常记为。二、向量的运算设三个向量，，，常数。1．和差：加法减法2．数乘：3．数量积（i）定义：数，称为为数量积也称点积，记为。其中为向量间夹角（在与之间）。（ii）性质：①；②表示向量在向量上的投影，；③。（

2、iii）计算：①；②。例题设和为非零向量，且，，求。解练习设为两两垂直的单位向量，求。4．向量积（i）定义：满足条件①；②的方向按右手法则垂直于所在平面的向量称为的向量积也称叉乘，记为。（ii）性质：①；②等于以为邻边的平行四边形的面积；③为向量，且同时垂直于。例题设，，其中，试问：（1）为何值时，（2）为何值时，以向量、为邻边的平行四边形面积为12。解（1）由，。（2）或。（iii）计算：。例题设，（1）求出所有满足的向量的坐标表达式；（2）求出模为最小的向量。解（1）设，由，即，得，其中可取任意实数。

3、（2），故当即时，最小，此时。练习已知的顶点为、和，求上的高。5．混合积（i）定义：数称为向量的混合积，记为。（ii）性质：等于以为棱边的平行六面体的体积。（iii）计算：。例题求证：。解练习设三个，，共面，求。三、向量间的关系1．夹角：或。2．垂直：或。3．平行（共线）：或或。4．共面：。例题（1）已知，，则解由得，即，得，即，于是，，则，故。（2）设，，问为何值时，最小。解，令，由，可得，故。（3）设，向量满足,，，求。解由向量满足,，可令，又，求得，故。（4）已知三个非零向量，其中任意两个向量都不平

4、行，但与平行，与平行，求证：。证由与平行，与平行，存在两个数使得，，两式相减得，又三个非零向量中任意两个向量都不平行，故，从而。练习（1）设，若，则；若，则；。（2）设且，则第二节平面与直线一、平面及其方程1．三种形式（i）点法线：已知平面过点，其法向量，则平面的方程为。（ii）一般式：，其中不全为零。前的系数表示的法线方向数，是的法向量。（iii）截距式：，其中全不为零。表示平面分别在轴上的截距。例题平行于平面，且与三个坐标面所构成的四面体体积为个单位的平面方程为解设所求方程为，则，由，得，故平面方程为

5、。2．平面间的位置关系设两平面为，（i）夹角（）：。（ii）垂直：。（iii）平行：（iv）重合：例题设平面过点且与平面成角，求的方程。解设平面方程为，则由题意得，，，求解得，，，所求平面方程为或。3．点到平面的距离：设平面的方程为，而点为平面外的一点，则到平面的距离。真题点到平面的距离为解直接利用公式，例题已知平面方程：，：，求平分与夹角的平面方程。解设为所求平面上的任一点，依题意它到的距离应等于它到的距离，即，整理所求平面方程为或。二、直线及其方程1．三种形式（i）点向式（标准式、对称式），其中为直线

6、上的点，为直线的方向数。（ii）参数式：，为参变量。（iii）一般式：（两平面的交线），方向向量。例题（1）过点，垂直于直线且平行于平面的直线方程为解取故所求直线为。（2）求点在平面上的投影。解平面的法向量，于是过点的垂线方程为，将它化为参数式，得，代入平面方程，得，所以，，故所求投影为。2．直线间的位置关系设两直线为。（i）夹角（）：。（ii）垂直：。（iii）平行：。真题设有直线：与：，则与的夹角为解，，利用公式，即与的夹角为。3．直线、平面间的位置关系设平面的方程为：，直线的方程为：。（i）夹角（）

7、：。（ii）垂直：（iii）平行：（iv）重合：且上有一点在上。真题（1）设有直线：及平面：，则直线（C）（A）平行于（B）在上（C）垂直于（D）与斜交解，，故，选（C）（2）已知直线在平面上，则，解，，由题意，且点在平面上，于是；。4．点到直线的距离：设是直线外一点，是直线上任意一点，且直线的方向向量为，则点到直线的距离。例题点到直线的距离为解直接利用公式。三、平面束及其应用1．定义：设直线的一般式方程为，则通过的所有平面方程为，其中不全为零；或。2．应用：当问题中出现平面经过一直线的条件时，可用上述假

8、设处理。真题求直线在平面上的投影直线方程。解设直线的平面束的方程为，即，这平面与平面垂直的条件是，由此得，得投影平面的方程为，所以投影直线方程为。例题（1）求过直线，且与平面组成角的平面。解设平面方程为，即，由题设有，，故所求平面为。（2）求异面直线：与直线：之间的距离。解利用点到平面的距离。过作平行于的平面，则上的点到平面的距离即为二异面直线间的距离。设平面的法矢为，因为过，故，又，故，取，点在上，于是平面的方程为，点到平面