2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题.pdf

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1、2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案(高一年级)说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的评阅,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)1.已知集合N,且N,则1.2.已知正项等比数列的公比,且成等差数列,则.3.函数的值域为.4.已知,,则.5.已知数列满足:为正整数,如果,则5.6.在△中,角的对边长满足,且,则.7.在△中,,.设是△的内心,若,则的值为.8.设是方程的三个根,则的值为

2、-5.二、解答题(本大题满分56分,第9题16分,第10题20分,第11题20分)9.已知正项数列满足且,,求的通项公式.解在已知等式两边同时除以,得,所以.------------------------------------------4分令,则,即数列是以=4为首项,4为公比的等比数列,所以.------------------------------------------8分所以,即.------------------------------------------12分于是,当时,,因此,---------

3、---------------------------------16分10.已知正实数满足,且,求的最小值.解令,,则.----------------------------------------5分令,则,且.------------------------------10分于是.------------------------------15分因为函数在上单调递减,所以.因此,的最小值为.------------------------------------------20分11.设,其中且.若在区间上恒成立,

4、求的取值范围.解.由得,由题意知,故,从而,故函数在区间上单调递增.------------------------------------------5分(1)若,则在区间上单调递减,所以在区间上的最大值为.在区间上不等式恒成立,等价于不等式成立,从而,解得或.结合得.------------------------------------------10分(2)若,则在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为.在区间上不等式恒成立,等价于不等式成立,从而,即,解得.易知,所以不符合.-------------------

5、-----------------------15分综上可知:的取值范围为.------------------------------------------20分

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