高考数学复习资料(二项式定理).pdf

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1、二项式定理(1课时)知识要点:1.二项式定理:(ab)nC0anC1an1bLCkankbkLCnbnnnnn2.二项展开式的通项:TCranrbrr1n3.二项式系数:C0,C1,C2,L,CkL,Cnnnnnn4.组合总数公式:C0C1C2LCn2nnnnn典型范例:11例1:已知二项式()n(nN*)展开式中,末三项的系数依次成等差数列,求此展开式中所有的24xx有理项。11解:由二项展开式的通项公式得,二项展开式中末三项的系数分别为Cn2,Cn1,Cn4n2nn11依题意得Cn2Cn2Cn

2、1,化简得8(n1)n(n1),4nn2n注意到这里n1,故得n=818r∴TCr()8rx4(r0,1,2L8)r1828r设第r+1项为有理项,则有x的幂指数为整数,∴r=0,4,8,4∴T,T,T为有理项159∴所求二项展开式中的有理项分别为111351TC0()8x2x2,TC4()4x3x3,TC8()0x4x41822565828982点评:二项展开式中关于某些项或某些项的系数问题,一般都要运用通项公式。例2:已知(3x23x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数

3、和大992,求展开式中系数最大的项.分析:由系数间的关系可求n,然后求系数最大的项即求系数不小于其前一项和后一项的系数的项,可以列不等式组求解.解:令x=1,得各项的系数和为(1+3)n=4n,而各项的二项式系数和为C0+C1+…+Cn=2n,nnn∴4n=2n+992∴2n=32或2n=-31(舍)31Cr3rCr-13r1r6r∴n=5,设第r+1项系数最大,则55即Cr3rCr13r113555rr11418∴≤r≤,又r∈Z∴r=444226∴系数最大的项是第五项,且T=C4x3(3x2

4、)4405x3.55点评:本思想方法不仅适用于求系数最大(小)项问题,在数列问题中也广泛采用.例3:设f(x)=(12x3x2)6,试求f(x)展开式中含x5的项的系数.分析:对于三项的式子,可以将其中的两项当做整体运用二项展开式定理。解:设f(x)的通项T=Ck(2x-3x2)k,设(2x-3x2)k中的第r+1项含x5,则k+16T=Cr(2x)k-r(-3x2)r=(-1)rCr2k-r·3rxk+rr+1kkkr5r0r1r2令得或或0rk6k5k4k3代入上式得x5的系数是-168.点

5、评:二项展开式有通项公式,仿此三项展开式也有通项公式,注意其应用,另外此题也可以用排列组合的知识解.练习:一、选择题1.在(x1)(x1)8的展开式中x5的系数是()A.–14B.14C.–28D.28C4C514解:88,应选B。2.在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中,x3的项的系数为()A.74B.121C.–74D.–121(1x)5[1(1x)4](1x)5(1x)9解:考虑求和转化,原式=,∴原展开式中项的系数为1(1x)xC4C4121,应选D。591113.若(2x)

6、n展开式中含项的系数与含项的系数之比为-5,则n等于()xx2x4A.4B.6C.8D.10解:n=6,r=4,故选B。14.如果(3x)n的展开式中各项系数之和为128,则展开式中x3的系数是()3x2A.7B.–7C.21D.–21解:令x1得,2n=128,解得n=7,从而所求系数为21,应选C。二、填空题15.(2x)6展开式中的常数项是(用数字作答)x解:240。6.若在(1ax)5展开式中x3系数为-80,则a=。解:-2。7.若(12x)2004aaxax2Lax2004,则(aa)(aa)L(aa

7、)=。(用数字作答)0122004010202004解:设f(x)(12x)2004aaxax2Lax2004,则f(0)a=1,f(1)aaaLa=1012200400122004∴原式2004a(aaLa)=2004。0122004x18.(2)5的展开式中整理后的常数项为。2x解:运用两个计数原理,展开后的常数项分为三类:5x1(1)5个式子均取2,则有C5(2)522;(2)5个式子中一个取,一个取,三个取2,则有52x1x11C1C3(2)3;(3)5个式子中两个取,两个取,一个取2,则有C

8、2()2C225242x523632∴它们的和为,即为所求常数项。2三、解答题9.设(4x1)200aaxax2Lax

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