2010数模试题与答案.doc

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1、华南农业大学期末考试试卷（A卷）2010学年第二学期　考试科目：　数学建模考试类型：（闭卷）　　　考试时间：　120分钟学号姓名年级专业题号123456789总分得分评阅人得分1、（满分10分）对下面这个众所周知的智力游戏，请按下列的要求写出该问题的状态转栘模型：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。将人、猫、鸡、米分别记为i=1，2，3，4，当i在此岸时记xi=1，否则为0；故此岸的状态下用s=（x1，x2，x3，x4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d=(u1,u2,u3,u

2、4)，当i在船上时记ui=1，否则记ui=0。（1）写出该问题的所有允许状态集合；（3分）解：所有允许状态集合为：S={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0)}及他们的5个反状态。（2）写出该问题的所有允许决策集合；（3分）解：允许决策集合为：D={(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,0,0,0)}（3）写出该问题的状态转移率。（4分）解：该问题的状态转移率为：sk+1=sk+(-1)kdk得分2、（满分16分）根据以下的不同假设，请写出相应人口问题的微分

3、方程模型(不用求解)。下设x（t）表示t时刻的人口数。（1）假设人口的相对增长率（指）是常数；（4分）解：模型为：,其中k为常数。（2）假定人口的相对增长率是关于当时人口数的线性减函数；（4分）解：模型为：=(r–sx)x，其中r与s为常数，且s>0。（3）假设人口的增长率与xm–x（t）成正比，其中xm表示人口的最大数量；（4分）解：模型为：，其中k为常数。（1）对问题（3）所建立的微分方程模型计算其平衡点，并判断其稳定性。（4分）解：设，并令，得到平衡点。（2分）又：，（1分）因此：平衡点为稳定平衡点。（1分）得分3、（满分12分）请利用一

4、些简单的几何关系或你所设计的观察实验等，请对下列问题进行数学建模,包括必要的假设，符号说明，模型：（1）如何估计鱼的重量？（4分）解：首先，测量鱼的身长（l）和腰围（g），（1分）设鱼的体重为G及体积为V，并假设（1分）则：（2分）（2）如何估计一个人体内血液的总量？（4分）解：首先设计一个简单的实验：注射一定量的葡萄糖m，并测定注射前人体葡萄糖浓度（设为l1），及注射后人体葡萄糖浓度（设为l2）。（2分）假设注射前人体葡萄糖总量为M，下用x表示人体血液总量（用体积表示），则：（1分）即：（1分）（3）请对一个动物的体重和心率之间的关系建立一个

5、简单的数学模型。研究已知：对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失。（4分）解：由于动物消耗的能量P主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S散失。记动物体重为w，则：（1分）又能量（P）与从心脏到全身的血流量（记为Q）成正比，则：（1分）设动物的心率为r，因此，其中q是动物每次心跳泵出的血流量，并假设q与w成正比（1分）因此，（1分）得分4、（满分5分）将自然数n分解为两个因子乘积，其因子个数用d（n）表示，如d（3）=2，因为3有二个因子1、3；d（4）=3，因为4有三个因

6、子l、2、4，这当中有无规律可循呢？考察下表：n12345678910111213141516d(n)1223242434262445根据对上表的观察，请写出其中的规律。解：规律是：当自然数是完全平方数时，d（n）为奇数。（5分）得分5、（满分12分）药的剂量和用药间隔时间应该如何调节，才能保证在血液中维持安全有效的药物浓度？设H为药物的最高安全量级，L为最低有效量级，x0为每次所开药物的剂量，T为用药间隔时间。现给定H＝3.5mg/ml，L＝1.5mg/ml。并假定血液中药物浓度的减少速率与浓度成正比（设比例系数k＝0.02），（1）写出第

7、n次用药期内的药物浓度变化的动力学模型；（6分）解：第n次用药的初始浓度为：（1分）其中：（3分）因此（2分）（2）请在安全有效范围内对用剂量的浓度和用药间隔制定一个用药计划，即写出每次用药的药物剂量和最佳的时间间隔。（6分）解：每次用药剂量为：x0=H–L=2mg/ml（2分）时间间隔为：得分6、（满分10分）设在一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食，哺乳动物又依赖植物生存，假设食肉爬行动物和哺乳动物独自生存时服从Logistic变化规律，植物独自生存时其生物量的增长服从指数增长规律。现有研究发现，

8、当哺乳动物吃食植物后，植物能释放某些化学物质对这些吃食的哺乳动物产生一定的毒害作用。请通过适当的假设，建立这三者间的关系模型.解：设植物、哺乳动物和食