2012届高考数学二轮复习讲义第17讲 圆锥曲线热点问题.doc

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1、第17讲　圆锥曲线热点问题主干知识整合1．曲线与方程的概念2．求曲线的方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件P的点M的集合P＝{M

2、P(M)}；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．3．求曲线方程的方法求曲线方程的方法，除了直接法、定义法和待定系数法外，最为常见的就是代入法、参数法和交轨法．(1)代入法：当形成曲线的动点P(x，y)，随着另一个在已知曲线f(x，y)＝0上的动点Q(x0，y0)有

3、规律的运动时，利用这种规律就能得到x0＝φ(x，y)，y0＝φ(x，y)，而x0，y0满足f(x0，y0)＝0，将x0＝φ(x，y)，y0＝φ(x，y)代入就可得到动点P(x，y)所形成的曲线的方程．(2)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．(3)交轨法：有些情况下，所求的曲线是由两条动直线的交点P(x，y)所形成的，既然是动直线，那么这两条直线的方程就必然含有变

4、动的参数，通过解两直线方程所组成的方程组，就能将交点P(x，y)的坐标用这些参数表达出来，也就求出了动点P(x，y)所形成的曲线的参数方程，消掉参数就得到了动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．要点热点探究探究点一　轨迹问题例1[2011·安徽卷]设λ>0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足＝λ，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足＝λ，求点P的轨迹方程．图17－1【分析】本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念、性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养．【解答】由＝λ知

5、Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)，即y0＝(1＋λ)x2－λy.①再设B(x1，y1)，由＝λ，即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x，1－y0)，解得②将①式代入②式，消去y0，得③又点B在抛物线y＝x2上，所以y1＝x，再将③式代入y1＝x，得(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2，(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2，2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.因λ＞0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－

6、1＝0.故所求点P的轨迹方程为y＝2x－1.变式题[2011·天津卷]在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a>b>0)为动点，F1、F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．【解答】(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．由题意，可得

7、PF2

8、＝

9、F1F2

10、，即＝2c.整理得22＋－1＝0.得＝－1(舍)，或＝.所以e＝.(2)由(1)知a＝2c，b＝c.可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2方程为y＝

11、(x－c)．A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c，得方程组的解不妨设A，B(0，－c)．设点M的坐标为(x，y)，则＝，＝.由y＝(x－c)，得c＝x－y.于是＝，＝(x，x)．由·＝－2，即·x＋·x＝－2，化简得18x2－16xy－15＝0.将y＝代入c＝x－y，得c＝>0.所以x>0.因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．探究点二　定点、定值例2已知椭圆C：＋＝1经过点(0，)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为点D、K、E.(1)求椭

12、圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且＝λ，＝μ，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．【分析】(1)待定系数；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式＝λ，＝μ把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据