例谈高考数学常考、易错、失分点之三角函数.doc

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1、习题精选精讲三角函数典型考题归类解析三角函数是中学数学学习中重要的基本初等函数之一，与代数、几何有着密切的联系，是解决数学问题的一种有利工具.三角函数作为中学数学的基础内容，在高考试题中年年呈现，多数以中低档题出现，可以独立命题，也可以与其它知识综合渗透.下面就07年全国高考中解答题进行梳理归类，供读者学习时参考：1．根据解析式研究函数性质例1（天津理）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．解析：（Ⅰ）．因此，函数的最小正周期为．（Ⅱ）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，故函数在区间上的最大值为，最小值为．解法二：作函数在长度为一个周期的

2、区间上的图象如下：由图象得函数在区间上的最大值为，yxO最小值为．点评：本题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角和与差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．利用三角公式将所给函数化为一个角的三角函数，然后借助其性质直接求解是研究三角函数的性质的常规思路.凭借函数图象研究函数性质，可以使问题得以形象直观展示出来易于解决.【相关高考1】（湖南文）已知函数．求：（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间．解析：．（I）函数的最小正周期是；18习题精选精讲（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．【相关高考2】（湖南理）已知函数，．（I）设是函

3、数图象的一条对称轴，求的值．（II）求函数的单调递增区间．解析：（I）由题设知．因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）．所以．当为偶数时，，当为奇数时，．（II）．当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．2．根据函数性质确定函数解析式例2（江西）如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．解析：（1）将，代入函数，因为，所以．由已知，且，得．18习题精选精讲（2）因为点，是的中点，．所以点的坐标为．又因为点在的图象上，且，所以，，从而得或，即或．解析：本题主要考查三角函数图象的性质以及识

4、图的能力.解决本题的关键是在于根据图象性质确定所给函数中的参数的值，根据题意图象与轴相交于点建立等式关系凭借的限制条件就能确定的值；本题的第二问实际是已知三角函数值求角问题，利用中点公式借助点将点表示出来代入函数式，凭借特殊角的三角函数值求角即可.【相关高考1】（辽宁）已知函数（其中），（I）求函数的值域；（II）（文）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间．（理）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调增区间．解析：（I）．由，得，可知函数的值域为．（II）（文）由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周期为，又由，得

5、，即得；于是有，再由，解得．所以的单调增区间为（理）由题设及三角函数图象和性质可知，函数的周期为，而，则即得，，由解得，18习题精选精讲即函数的单调递增区间为.【相关高考2】（全国Ⅱ）在中，已知内角，边．设内角，周长为．（1）求函数的解析式和定义域；（2）求函数的最大值．解析：（1）的内角和，由得．应用正弦定理，知，．因为，所以，（2）因为，所以，当，即时，取得最大值．3．三角函数求值例3（四川）已知cosα=,cos(α-β)＝，且0<β<α<,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β.解析：（Ⅰ）由，，得．∴．于是．（Ⅱ）由，得．　又∵，∴．由，得，∴．点评：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、

6、三角函数值的符号、已知三角函数值求角以及计算能力．根据已知求解具有限制条件角的三角函数值时，首先确定所求角的范围，然后适当进行角的变换利用三角公式进行求值即可.【相关高考1】（重庆文）已知函数f(x)=.（Ⅰ）求f(x)的定义域；（Ⅱ）若角a在第一象限，且解析：（Ⅰ）由故f(x)的定义域为18习题精选精讲（Ⅱ）由已知条件得从而＝＝＝【相关高考2】(重庆理)设f()=（1）求f()的最大值及最小正周期；（2）若锐角满足，求tan的值.解析：（Ⅰ）．故的最大值为；最小正周期．（Ⅱ）由得，故．又由得，故，解得．从而．4．三角形中的函数求值例4（全国Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a

7、，b，c，．（Ⅰ）求B的大小；（文）（Ⅱ）若，，求b．（理）（Ⅱ）求的取值范围．解析：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得．（文）（Ⅱ）根据余弦定理，得．所以，．（理）（Ⅱ）．由为锐角三角形知，，．，所以．由此有，所以的取值范围为．18习题精选精讲点评：本题考查正弦余弦定理、两角和公式、三角函数式的化简以及具有限制条件的三角函数值的取值和推理运算能力.【相关高考1】（天津文）在中，已知