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《圆周角定理圆内接四边形的性质及判定课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.1圆周角定理一.圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。已知在⊙O中，BC所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC,∠BOC.求证：∠BAC=∠BOC.⌒ABOCABOC(1)(2)ABOC(3)ABOC(1)(1)圆心O在∠BAC的一条边上.∵OA=OC,∴∠C=∠BAC∵∠BOC=∠C+∠BAC∴∠BAC=∠BOC.ABOC(2)(2)圆心O在∠BAC的内部.作直径AD.由(1)有∠BAD=∠BOD,∠DAC=∠DOC∴∠BAD+∠DAC=(∠BOD+∠DOC)∴∠BAC=∠BOC.ABOC(3)(3)圆心O在∠BAC的外部.作直径AD.由(
2、1)有∠DAB=½∠DOB,∠DAC=½∠DOC∴∠DAC-∠DAB=½(∠DOC-∠DOB)∴∠BAC=½∠BOC.一个周角是360º.把圆周等分成360份，每一份叫做1°的弧.特别注意：1°的弧是指任何一个圆来说的,跟圆的半径的大小无关.如图,∠AOB=90º,所以AB是90º的弧,A´B´也是90º.都是周角的四分之一.⌒⌒但AB并不等于A´B´,因为它们所在圆的半径不等.故相等的弧和相等度数的弧意义是不同的.⌒⌒圆心角定理推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90º的圆周角所对
3、的弦是直径.同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等,所对的圆周角也相等.圆心角的度数等于它所对的弧的度数。例1如图,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径.求证:AB·AC=AE·AD.ABCEDO例2.如图,AB与CD相交于圆内一点P.求证:AD的度数与BC的度数和的一半等于∠APD的度数.⌒⌒DACBPE1.如图,OA是⊙O的半径,以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D,求证:D是AB的中点.ABDOC(第1题)E练习：2.如图,圆的直径AB=13cm,C为圆上一点,CD⊥AB,垂足D,且CD=6cm.求AD的长.ACBD(第2题)3.如图,BC是
4、⊙O的直径,AD⊥BC,垂足D.AB=AF,BF和AD相交于E.求证:AE=BE.⌒⌒OBCADEF(第3题)2.2圆内接四边形的性质与判定定理【温故知新】圆心角定理推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90º的圆周角所对的弦是直径.同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等,所对的圆周角也相等.圆心角的度数等于它所对的弧的度数。二.圆内接四边形的性质与判定定理圆内接多边形:这个圆称多边形的外接圆.思考:任意三角形都有外接圆.那么任意正方形有外接圆吗?为什么?任意矩形有外接圆吗?等腰梯形呢
5、?一般地,任意四边形都有外接圆吗?ABCDOABCDADBCDABC所有顶点都在一个圆上的多边形.如果一个四边形内接于圆,那么它有何特征?DABC性质定理1（1）DABCE（2）性质定理2圆内接多边形的对角互补。圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。如果一个四边形内接于圆,那么它有何特征?性质定理1性质定理2圆内接多边形的对角互补。圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.性质定理的逆命题成立吗？假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°求证：A,B,C,
6、D在同一圆周上（简称四点共圆）.CABDEOABCDEO证明：(1)如果点D在⊙O外部。则（1）（2）∠AEC+∠B=180°因∠B+∠D=180°得∠D=∠AEC与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。(2)如果点D在⊙O内部。则∠B+∠E=180°∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC同样矛盾。∴点D不可能在⊙O内。综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情形分别论证,最后获证结论的方法---穷举法推论如果四边形的一个外角等于它
7、的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.DABCE例1如图，圆O1和圆O2都经过A,B两点。经过点A的直线CD与圆O1交于点C,与圆O2交与点D,经过点B的直线EF与圆O1交于点E,与圆O2交与点F.ACDEBF求证：CE//DF.例2如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC,FQ⊥AC.求证：A,B,P,Q四点共圆AFBPQC习题2.21.AD,BE是△ABC的两条高，求证：∠CED=∠ABC.CABEDo2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同一个圆周上。3.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E,EG平分∠E,且与BC,AD分别
8、相交于F,G.求证：∠C
