多元函数积分学课件.ppt

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1、§2－1　二重积分回忆定积分.设一元函数y=f(x)在[a,b]可积.则如图0xyabxixi+1iy=f(x)f(i)其中i[xi,xi+1],xi=xi+1xi,表小区间[xi,xi+1]的长,f(i)xi表示小矩形的面积.设有一立体.其底面是xy面上的区域D,其侧面为母线平行于z轴的柱面,其顶是曲面z=f(x,y)0,连续.称为曲顶柱体.若立体的顶是平行于xy面的平面.则平顶柱体的体积=底面积×高.0yzxz=f(x,y)D如图一、例1.求曲顶柱体的体积V.(i)用曲线将D分成n个小区域D1,D2,…,

2、Dn,每个小区域Di都对应着一个小曲顶柱体.如图z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi(ii)由于Di很小,z=f(x,y)连续,小曲顶柱体　可近似看作小平顶柱体.(i,i)Di.小平顶柱体的高=f(i,i).若记i=Di的面积.则小平顶柱体的体积=f(i,i)i小曲顶柱体体积f(i,i)(i,i)Diz=f(x,y)(iii)因此,大曲顶柱体的体积分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值V,若分割得"无限细",则右端近似值会无限接近于精确值V.也就是(iv)其中Di的直径是指Di

3、中相距最远的两点的距离.其中(i,i)Di,i=Di的面积.xyDi如图(1)平面薄板的质量M.当平面薄板的质量是均匀分布时,有,平面薄板的质量=面密度×面积.若平面薄板的质量不是均匀分布的.这时,薄板的质量不能用上述公式算,应如何算该薄板的质量M?2.非均匀分布物体的质量用曲线将D分成n个小区域D1,D2,…,Dn,设一平面薄板,所占区域为D,面密度(x,y)0连续.(x,y)D.求该平面薄板的质量M.(i)如图0xyDDiDi的面积记作i.0xyDDi由于(x,y)0连续,从而当Di很小时,(x,

4、y)在Di上的变化不大,可近似看作(x,y)在Di上是不变的.从而可用算均匀薄板的质量的方法算出Di这一小块质量的近似值.(ii)即,(i,i)Di,以(i,i)作为Di这一小　片薄板的面密度.从而,第i片薄板的质量mi(i,i)i(iii)故,平面薄板的质量(iv)1.定义设z=f(x,y)是定义在有界闭区域DR2上的有界函数.将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(I=1,2,…,n),其面积记为i.(i,i)Di,作积f(i,i)i,二、二重积分的概念与性质若对任意的分

5、法和任意的取法,当0时,和式的极限存在且极限值都为I,则称f(x,y)在D上可积,记为f(x,y)R(D),并称此极限值I为f(x,y)在D上的二重积分.记作即其中“”称为二重积分符号,D称为积分区域,f(x,y)称为被积函数,d称为面积元素,x,y称为积分变量.和式注1.定积分二重积分区别在将小区间的长度xi换成小区域的面积i,将一元函数f(x)在数轴上点i处的函数值f(i)换成二元函数f(x,y)在平面上点(i,i)处的函数值f(i,i).可见,二重积分是定积分的推广.注2.若将D用两族平行于

6、x轴和y轴的直线分割.(如图)DiD则除边界上区域外,Di的面积i=xiyi,故也将二重积分写成注3.可以证明若f(x,y)在D上连续,则f(x,y)在D　　上可积,若f(x,y)在D上有界,且在D内只有有限个不连续点,或只在有限条曲线上不连续,则f(x,y)可积.2.二重积分的性质.设D为有界闭区域,以下涉及的积分均存在.性质1.性质2.性质3.性质4.若在D上有f(x,y)g(x,y),则特别:(i)若在D上f(x,y)0,则(ii)这是因为

7、f(x,y)

8、f(x,y)

9、f(x,y)

10、积分后即得.性质5

11、.若在D上mf(x,y)M,则设f(x,y)C(D),则(,)D,使得性质6.性质7.3.二重积分的几何意义设x,y在D上可积,则(i)当z=f(x,y)0时,(ii)当z=f(x,y)<0时,(iii)=(D1上曲顶柱体体积)(D2上曲顶柱体体积)1.直角坐标系下二重积分的计算.由二重积分的几何意义知,当f(x,y)0时,如图若点x处截面面积为A(x),则体积xy0axA(x)三、二重积分的计算(1)设积分区域D是由两条平行于y轴的直线x=a,x=b及两条曲线y=y1(x),y=y2(x)围成.如图即,D

12、:y1(x)yy2(x),axb称为x—型区域.特别情形是A、B退缩成一点,E、F退缩成一点.xy0ABEFDy=y1(x)y=y2(x)ab由几何意义知,以D为底的曲顶柱体体积V.如图.过点x0作平面x=x0,截面是平面x=x0上的,以z=f(x0,y)为曲边的曲边