南航矩阵论研究生试卷及答案.doc

《南航矩阵论研究生试卷及答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、南京航空航天大学2012级硕士研究生共6页第1页2012~2013学年第1学期《矩阵论》课程考试A卷考试日期：2013年1月15日课程编号：A080001命题教师：阅卷教师：学院专业学号姓名成绩一、(20分)设是的一个线性子空间，对任意，定义：，其中.(1)求的一组基和维数；(2)对任意，定义：，证明是的一个内积；(3)求在题（2）所定义的内积下的一组标准正交基;(4)证明是的线性变换，并求在题（1）所取基下的矩阵.解答：(1)的一组基为维数为3.……………………………………(5分)(2)直接验证内积定义的四个条件成立.……………………………(4分)(3)标准正交基.………

2、…(5分)(4)由于,所以是的一个变换.又直接验证,知,因此是的一个线性变换.………………………………(3分)线性变换在基下的矩阵为.……………………………………………(3分)二、(20分)设三阶矩阵，，.(1)求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan标准形；(2)利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由.解答:(1)的行列式因子为;…(3分)不变因子为;…………………(3分)初等因子为;……………………(2分)Jordan标准形为.……………………(2分)(2)不相似,理由是2阶行列式因子不同;…………………(5分)相似,理由是各阶行列式因子相同.……………

3、……(5分)共6页第4页三、(20分)已知线性方程组不相容.(1)求系数矩阵的满秩分解；(2)求广义逆矩阵；(3)求该线性方程组的极小最小二乘解.解答:(1)矩阵,的满秩分解为.…………………(5分)(2).……………………(10分)(3)方程组的极小最小二乘解为.…………(5分)共6页第5页四、(20分)已知幂级数的收敛半径为3,矩阵.(1)求；(2)证明矩阵幂级数收敛；(3)求矩阵幂级数的和.解答：(1).………(10分)(2)因为是相容范数，且，则在收敛半径内，因此级数收敛.……………(5分)(3).……………(5分)共6页第6页五、(20分)设是两个阶矩阵,其中，证

4、明:(1)若对任意，有则可逆；(2)若都是Hermite正定矩阵，则的特征值均为正数；(3)若都是Hermite半正定矩阵，则,并且当等号成立时,必有.解答：(1)由可得，，由于是相容范数，则，的特征值都不为零，因此可逆.………………………(6分)(2),这里是可逆的Hermite矩阵,从而.由于与有相同的特征值，且，所以的特征值均为正数.………………(8分)(3)，这里是Hermite矩阵.由于与有相同的特征值，且,所以的特征值均为非负数,从而.…………………(4分)当时,有,从而.设这里也是Hermite矩阵,则.于是,由此得到.…………(2分).