基于密度影响的生态-传染病模型.pdf

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1、第11卷第4期淮阴师范学院学报(自然科学)V01.11No.42012年12月JOURNALOFHUAIYINTEACHERSCOLLEGE(NaturalScience)Dec.20l2基于密度影响的生态一传染病模型康爱花(山西大同大学朔州师范分校数学系,山西朔州036000)摘要:分析并建立了疾病在被捕食者中传播的捕食与被捕食模型,且两种群都受密度制约因素的影响,讨论了系统的有界性和各平衡点存在的条件.首先计算各平衡点对应的雅哥比矩阵,利用Routh.Hurwitz判据分析各平衡点的局部渐进稳定性;其次通过构造Ly

2、apunov函数,由LaSa]le不变原理证明了正平衡点的全局渐进稳定性;再次利用比较定理证明了系统的持久性.关键词:模型;捕食与被捕食;局部稳定;全局稳定;持久性中图分类号:0157.13文献标识码:A文章编号:1671—6876(2012)o4.0342.04O引言种群动力学主要是解决种群之间相互竞争、互惠、捕食与被捕食关系等,传染病动力学主要研究疾病的传播机理、控制问题等.种群动力学和传染病两方面结合,这样更加符合实际情况,因为种群之间彼此相互依赖,不能完全分开,既考虑种群之间的竞争、互惠和捕食与被捕食的关系,又

3、考虑传染病的传播机理以及控制问题.最近几年对这方面的研究做了不少工作⋯.Chattopadhyay_2针对Salton海中的伽蓝鸟建立了生态一传染病模型,研究了平衡点的存在性及其各平衡点的局部稳定性和全局稳定性.Xiao3研究了疾病在被捕食者中传播的捕食与被捕食模型,得到无病平衡点和正平衡点是否稳定的条件,也就是说疾病是否流行的条件,又证明了系统的持久性.Xiao_4考虑了疾病在捕食者中传播的捕食与被捕食模型,证明了随着传染率的不断增加,正平衡点的变化规律是:稳定一不稳定一稳定.Venturino建立了疾病在被捕食者传

4、播的生态.传染病模型,讨论了各平衡点的存在性、局部稳定性和全局稳定性.但是,大部分模型假设捕食者只捕食染病的食饵,在这里我们考虑疾病在被捕食者流行,且捕食者既捕食染病种群也捕食易感种群,建立模型如下:dXl:X1Er.(+)]一px一cXIP百dX2:12一c22P一口2dY=y(r2一2y)一e11y—e22】,其中,被捕食种群分为易感者种群和感染者种群X2,Y表示捕食者种群.r,r:分别表示食饵和捕食者的内禀增长率,k,k分别是食饵和捕食者的密度制约系数,C,C分别表示捕食者对易感种群和感染种群的捕食系数,其中e,

5、=C(0<<1),e:=/zC2(0</1<1),1,2为转化系数,卢表示传染率,a表示感染食饵的死亡率.所有系数都是正数.在此模型中假设感染食饵不再康复,也不能繁殖生育,只影响食饵种群的环境容纳量.收稿日期:2012—09—09作者简介:康爱花(1982一),女,山西朔州人,助教,硕士,研究方向为应用数学第4期康爱花:基于密度影响的生态.传染病模型3431预备知识1.1有界性定理1模型(1)的满足初始条件(,(O),X(0),y(0))∈的正解是最终有界的,其中:{(X1,X2,Y)∈R。:Xl≥0,X2≥0,Y≥0

6、}.证明定义一函数cU=X++Y,沿系统(1)对求导,可得:孥_+孥—+dY:X1[Lr】1一kl(L1+X2)]j一a2+Y(r2一k2Y)一(c1一e1)X1Y一(c2一e2)Y≤Xl[r1一klX1]一ctX2+Y(r2一k2Y),对每一个>O,不等式+≤X1[r+一.1}t。]+(一a)X2+y(r2+一k2y),都是成立的.选取适当的7"1使0<

7、有0<∞<詈·所以模型(1)的满足初始条件(X,(0),X2(0),Y(0))∈:的所有正解都定义在有界区域B:{((o),(o),y(0))∈R::cU=詈+,>0.}内.I.2平衡点存在性系统(1)有如下非负平衡点:,o,E-=(_r1,0,0)=。,。)=(荸,,0),.E=(,0,),E:X2,其中:2二2二,1,一C1e1y肚2r1+J8c1r2+o/~le1一c2e1r1一aklk2一c2k1r2一c2k1e2+lk2+k2一c2k1e1一c2l—c11’】,:e1r1+klr2+(k1e2一elk1一e1

8、)显然,如果k。口成立,平衡点E,存在;如果rlk>c1r2立时,平衡点E4存在;肚2rl+1r2+t2Cle1>c2e1r1+aklk2+c2k1r2且c2k1e2+肚lk2+2>c2k1e。+C2pe1+Cl。成立时,平衡点E存在.2稳定性分析Ir1—2k1X1一(kl+)2一clY

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