赋值法在解数学竞赛题中的应用.pdf

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1、8中等数学赋值法在解数学竞赛题中的应用刘东华(天津市南开中学，300100)中图分类号：0142文献标识码：A文章编号：1005—5416(2014)02—0008—03数学竞赛是培养学生数学兴趣的重要途径．次(规定aj+=at)，则a最终变为竞赛题思考性强有助于学生创造性思维的培养．a+S—l+S￡=a1+a2+⋯+a2o09．其中有一类数学问题，若用常规的思考方式解答从而，所有数变为相等，且对相邻顶点对往往捉襟见肘，此时只需转换思路，经过添加一个(A，A⋯)的操作次数赋值，使问题迎刃而解．S=a+2+a+4+⋯+o20o8下面举例

2、说明．≤100×1004=100400．例1在正2009边形的每个顶点处各放置符合题目要求．了一个不超过100的非负整数．给某两个相邻顶例2将m×n棋盘(由m行n列方格构成，点处的数分别加1，称作对这两个相邻顶点的一m≥3，nt>3)的所有小方格均染上红蓝两色之一．次操作．对任意给定的个相邻顶点至多可进行若两个相邻(有公共边的)小方格异色，则称这两次操作．求k的最小值，使得一定可以将所有顶个小方格为一个“标准对”．设棋盘中标准对的个点处的数变成彼此全相等．¨]数为．s．试问：Js是奇数还是偶数由哪些方格的颜(第35届俄罗斯数学奥林匹克

3、)色确定?什么情形下

4、s为奇数?什么情形下Js为解i=100400．偶数?说明理由．设顶点，4：，⋯，A处的数依次为a。，a，⋯(第四届中国西部数学奥林匹克)，a2oo9·解把所有方格分成三类：第一类方格位于首先取a2=a4：a2吣8100，a1=a3：a20090．棋盘的四个角上，第二类方格位于棋盘的边界对每次操作赋值(不包括四个角)上，其余的方格为第三类．S：(a2一a3)+(a4一a5)+⋯+(口2008一a2009)．若对相邻顶点对(A，A)操作一次，则S增将所有红色方格填上数1，所有蓝色方格填加1：上数一1．若对相邻顶点对(

5、A，A：)操作一次，则s记第一类方格中的填数分别为a、b、C、d；减少1；第二类方格中的填数分别为，，，⋯，若对其他相邻顶点对(，⋯)(i=2，3⋯，x2(m一2)+2(n一2)；2OO8)操作一次，则Js保持不变．第三类方格中的填数分别为Y。，Y，⋯，初始时，S：100400；最终时，S=0．(m一2)(n一2)·于是，至少要对相邻顶点对(A，A)操作对任意两个相邻的方格，在其公共边上标上lo400次．这两个方格中填数的积．从而，≥100400．设所有公共边上的标数的积为且其次证明：对任意初始状态(a。，a，⋯，0：)对每个第一类方

6、格，它有两个邻格，从而，其(a∈N，a≤100)，一定可以通过至多100400次填数在日中贡献两次；操作，将所有的数变为相等．对每个第二类方格，它有三个邻格，从而，其事实上，对相邻顶点对(A，A⋯)操作填数在中贡献三次；S：a+2+a+4+⋯+ai+2oo8对每个第三类方格，它有四个邻格，从而，其收稿日期：2o13～lO一25填数在Ⅳ中贡献四次．2014年第2期9故H=(abcd)G(YlY2⋯Y(_2)(_2])=G，∞1∞1其中，G=12⋯2(一2)+2(一2)．当G=1时，H=1，故有偶数个标准对；当G=一1时，H=一1，故有奇

7、数个标准对．这表明，S的奇偶性由第二类方格的颜色所决定．故当第二类方格中有奇数个蓝色格时，．s为奇数；当第二类方格有偶数个蓝色格时，S为偶数．例3如图1，平面上由边长为1的正三角形开始时，A=1，B=．构成一个无穷的三角形网络，三角形的顶点成为而由规则，知任意一轮跳跃不改变青蛙A所格点，距离为1的格点为相邻格点．在格点的值与青蛙所在格点的值之比值．若最终青蛙A、能交换位置，则：==>to2：1．l矛盾．所以，不能做到．例4有n张书签，每张书签一面为白色，另一面为黑色．将它们排成一排，且所有的书签的白图1色一面朝上．每次操作(若可能的话

8、)是拿掉一张白色的面朝上的书签(非最靠边的书签)，并将与A、两只青蛙进行跳跃游戏．“一次跳跃”是指青蛙从所在的格点跳至相这张书签相邻的两张书签翻到另一面．证明：能够使得只剩下两张书签的充分必要条件是n一1不邻的格点．能被3整除．“青蛙A、B的一轮跳跃”是指其按下列规则(第46届IMO预选题)进行的青蛙A先青蛙后的跳跃．规则1：青蛙A任意跳一次，则青蛙沿与A证明将白色的面朝上的书签称为“白书签”，反之称为“黑书签”．则在所有可能的操作相同的跳跃方向跳跃一次，或沿与之相反的跳跃方向跳跃两次．后，黑书签的数目的奇偶性始终不变．因此，若只规则

9、2：当青蛙4、所在的格点相邻时，它们剩下两张书签，则这两张书签的颜色相同．可执行规则1完成一轮跳跃，也可由青蛙4连跳若一张书签的左边有t张黑书签，则在该白两次，每次跳跃均保持与青蛙B相邻，而青蛙书签上放置数(一1)‘(只