二重极限存在的一个充分必要条件.pdf

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1、2005年9月襄樊学院学报Sept.,2005第26卷第5期JournalofXiangfanUniversityVol.26No.5二重极限存在的一个充分必要条件王爱国襄樊学院数学系湖北襄樊441053摘要多元函数的极限是多变量分析学的基础概念但因自变量变化过程的复杂性而使多重极限的存在性成为难点.文章讨论了其典型类型二重极限并给出了判断该极限存在的一个实用的充要条件.关键词二重极限存在性一致性中图分类号O171文献标志码A文章编号1009-2854(2005)05-0010-020引言二重极限相对于一元函数极限由于函数中自变量个数的增多使自变量的变化过程尤为复杂因此给二重

2、极限存在性的研究造成了困难这里通过对二重极限定义的分析找到了一种变复杂为简单的途径.1两个概念定义1设二元函数f(M)=f(x,y)在M(a,b)附近有定义而在M是否有定义无关紧要如果"e>0,$d>0,00[1]当0

3、x-a

4、

5、y-b

6、

7、f(M)-A

8、

9、有定义.因为00该定义对本文的讨论不会产生影响故以下内容均以定义1为基础.定义2设函数f(x,y)在(0,0)附近有定义如果"e>0.$d>0,当0<

10、x

11、

12、f(x,kx)-A

13、0.$d>0,当0<

14、x

15、

16、f(ky,y)-A

17、

18、f(M)-A

19、

20、只要动点M进入到M的d去心邻域而无论它是以怎样的方式和途径实现的都使得

21、f(M)-A

22、

23、限的问题转化成沿直线的简单的极限问题.本文给出以下结论定理2limf(x,y)=AÛ函数f(x,y)在点(0,0)沿直线y=ax和直线x=by关于a,bÎ[0,1]都一致趋于A.x®0y®0证必要性Qlimf(x,y)=A"e>0,$d>0,当

24、x

25、

26、y

27、

28、f(x,y)-A

29、

30、x

31、

32、ax

33、

34、f(x,ax)-A

35、

36、A;充分性Q对于aÎ[0,1](x,y)沿直线y=ax趋于(0,0)时f(x,y)一致趋于A由定理2得"e>0,$d>0,1当0<

37、x

38、

39、f(x,ax)-A

40、0,$d>0,当0<

41、y

42、

43、f(by,y)-A

44、

45、x

46、

47、f(x,ax)-A

48、

49、y

50、

51、f(by,y)-A

52、

53、x

54、

55、y

56、

57、点的某直线上如图1于是由12式总有

58、f(x,y)-A

59、0,$d>0,当0

60、f(rcosq,rsinq)-A

61、