同济大学高数考试试卷七.pdf

同济大学高数考试试卷七.pdf

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1、同济大学高数考试试卷(七)一.计算题3z1.设zxlnxy,求.2xy33zz1z解.lnxy1,,0.22xxxxy222.求zxy1的极值.z2x0x0x2解.,又ABC40,A20,故得zy2y10y1极小值z0,10.23.设L为yx上从A0,0到B1,1的一段弧,求Iyds.L1221解.Ix14xdx551.120224.求IzdS,其中:z1xy.221解.I1xydxdy.22x2y2

2、11xy15.讨论级数sinn的收敛性.n2lnn1n111解.sinn1sin,又n时sin,故n2lnnn2lnnlnnlnn条件收敛.nx1n16.求幂级数1的收敛域.n1n解.1R1,收敛域为2,0.12二.求Ixydxdy,其中D由xy和xy2围成.D2y245解.Idyxydx.281y三.设2xz2xyzlnxyz0,求dz.112yz2z2xzxy解.dzdxdy.112x2xy2x2xy

3、zzz四.求uxye在P1,1,0处沿方向l1,1,1的方向导数.u1111解.1,1,1,,.l1,1,03333222五.证明曲面:xyz4xz10的切平面均不平行于直线xyz50L:.x2yz80解.s1,1,11,2,11,0,1,n2x4,2,2zyz4x,故sn2x2z0,证毕.2yyyyy六.证明曲线积分1cosdxsincosdy在右半平面内与2Lxxxxx2,2yyyy

4、y路径无关,并求I1cosdxsincosdy.21,xxxxx2yyyyyQP解.P1cos,Qsincos,,故曲线积分在右半平面2xxxxxxy22与路径无关,I1cosdx1.21xx2332222七.求Ixdydzydzdxzxydxdy,其中:zxy0z1,取下侧.z1解.取:上侧,则I122xy11122222x2ydvxyd.x2y21326xyz

5、22八.求平面1和柱面xy1的交线上到xOy面距离最近的点345的坐标.2xyz22解.设Lz1xy1,由3454335LLLLL0x,y,z.xyz55123

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