多元函数积分的简化计算.pdf

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1、第14。2011年3月s墨T!uDI坠Es墨羞磊堕H韭EMATICs釜VMo1a．r1．4，，2N0o1．12多元函数积分的简化计算李治飞(西安建筑科技大学理学院，陕西西安710055)摘要利用多元函数积分区域的对称性，可通过对被积函数以及积分区域的变换来简化多元函数积分的计算．关键词多元函数的积分；积分区域；对称性；奇偶性中圈分类号O172．2文献标识码A文章编号1008_1399(2011)02—0034。03由于多元函数积分计算的难易程度完全取决于d．rar=譬．被积函数以及积分区域的形式，所以，简化其

2、计算J=1的主要方法是通过改变被积函数或者积分区域的形，=一口T一tR44+十。一61譬一4一=(f＼a2bz、}I一4．。式来得以实现的．例2计算1变换被积函数J=Ⅲ(，对于已知的多元函数积分，要想简化积分计算，其中区域Q为首先要考察其积分区域是否具有对称性，如果具有。+Y。，z=2对称性，则可通过改变被积函数的形式来达到简化所围区域．积分计算的目的．多元函数积分区域的对称性具体解因为Q关于，Y为轮换对称，则有可分为两种情况，即关于轮换对称和关于坐标轴(面)对称．J—JIf(+yZ=1．1积分区域关于轮换对

3、称定义1设积分区域Ⅲ(—y2一DCR”(∈N)，jI『[(z一+)+(z-3~+x2)]dv=如果D中两个坐标z，互换后所得区域仍为D，那么称区域D关于36,，3C．i为轮换对称区域．jI『d一。rd：如一了87t"．结论1设D为平面上某区域，若D关于，Y为轮换对称，则有：例3计算I一(z+2y。+3z)出，IIf(x，y)da=llf(Y，)曲．该结论可推广到三重积分及线、面积分的形式．其中区域乏为球面例1(94年考研题)计算X。+Y。+。=R。．=几(薯+荸)曲，解因为关于z，Y，为轮换对称，则有其中区域

4、D为一。出一=((，3，)fz。+Y。≤R。)．解因为D关于，为轮换对称，则有÷(。+yZ=R了2=，,~Dx2曲=．I『。da=扎(。+y2)dr一J一6§s=81．2积分区域关于坐标轴(面)对称收稿日期l2008—10—04；修改日期：2011—02—09．结论2设Q关于坐标面为对称区域，记作者简介：李治飞(1969-)，男，辽宁大连人，硕士，讲师，从事工业控制研究．Email：hansel2005(~tom．COrn．=Qn{Xlz=≥0)．第14卷第2期李治飞；多元函数积分的简化计算35那么一丢Ⅲ3J

5、2={Ⅲ(+3J2)一jI『，yd一前d·r3od=誓．ffcx，，d艺，，，《r_圣，=，，，例6设Q为由球面．、n。(一1)。+(3，一1)。+(一2)。=1【O．_(-x,y，2)一，Y，所围区域．计算推论1设Q关于坐标面为对称区域，则，Ⅲ，，蒯===J=Ⅲy-3xy。+3xy)d解因为Q关于，Y为轮换对称，则有铷[，，z)+f(-x，3，№．Ⅲ。如d＆=皿．。dxd，’推论2设Q关于平面=a为对称区域，则d=J=Ⅲ[(-1)。+13如州．而Q关于平面一1对称，所以由推论2可得铷[，(加，2)+口一x,

6、y,z)]d仉I=如{[(¨1]+易见结论2及其推论同样适用于二重积分、曲线积分和曲面积分的形式[．[(2-x-1)。+13y)&=Ⅲ例4设∑为又因为Q关于-'Fi~iY=1为对称，所以由推论2可得z=·研被曲面I一铷[(2州z=x。+y。一2ax(口>O)所截部分．计算dxddz一等．I=5(xy+yz+=)d2变换积分区域解因为曲面∑关于坐标面xOz为对称区域，借助对称性，通过改变积分区域来简化多元函记∑为∑在坐标面上的投影，则有数积分的计算，也是一种常见方法．I=丢Ⅱ{(++)+例7设，(z)在[O，1

7、]上连续，且Jr。lf(x)dx—A，~x(-y)+(-y)2+])出=ds=’乏试求Ⅱ~／—2(x2+—y2)dxd=J=．X．,Oy解因为积分区域D。+D。(图1)关于z，Y为例5设∑为柱面轮换对称，则有’z。+y。一1，z一0，z=3所围曲面的外侧．计算I=I『d=’D‘1J=(一岫+ln(I+eOdydz．IIf(y)f(x)dxdy=解记n为由乏所围区域，则由高斯公式得I=Ⅲln(1)da：dyd，号Ⅱ)，()dxd=又因为Q关于坐标面xOz对称且关于和Y轮换对)d=等．称，所以有例8计算I=号JI

8、『n(1)+．r=Ⅱ(+c眦．sin)如(一)1n(1+e-')]dxd~rdz=36高等数学研究2011年3月其中D(图2)可表示为盯(+cO·sinyd3，=D—D1+Dz十D3+D4．D1+D2丢Ⅱ+cosz·siny)+DxDI+D2／[一xy+COS(-z)·siny-I}dxdy=皿／／J]．COKE·si一～·sinydxdy=锈．一}，D1+图1例7用图图2例8用图2Jc。sz叫si