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1、§6.6子空间的交与和§6.6子空间的交与和一、子空间交与和的概念二、子空间交与和的维数第六章线性空间一、子空间交与和的概念这一节讨论子空间的两种运算：交与和。考虑子空间交与和是否仍是子空间，同时考虑子空间交与和的维数与子空间维数的关系。下面先给出子空间交与和的定义，注意这种定义与子集的交与和的定义有什么不同。定义1设VV12,是数域F上线性空间V的两个子空间，V1与V的交表示那些既属于V又属于V的向量的全体，记为212VV∩,即VV∩=∈{ααV且α∈V}121212。V1与V2的和表示那些能表成α12+αα,,1∈∈VV1α22的向量的全体，记为VV+,即12
2、VV1+=2{αα12+α1∈V1,α22∈V}子空间的交与和仍是V的子空间，这就是第六章线性空间定理6.6.1设VV,是数域F上线性空间V的两个子空间，12则VV12∩和VV12+都是V的子空间。证明：∵VV,是V的子空间，12∴0,∈∈VV120,即0∈VV12∩，故VV12∩非空。对∀α,,β∈VV12∩α,,βα∈VV12,β∈。又对∀kl,∈F∵klα+β∈V,klα+β∈V,12∴klα+∈βV∩V,因此VV∩是V的子空间。1212又∵0,∈∈VV120,∴00=+0∈VV12∪,故VV12∪非空。对∀α,,β∈VV∪α=αα+=,,ββ+β12121
3、2其中α,,βα∈VV,β∈111222对∀∈kl,,Fklα+βα∈+V,klβ∈V111222第六章线性空间klα+=βαk(12+α)+l(β1+β2)=+(klαβ11)+(kα2+lβ2)∈V1∪V2。此即klα+β∈V∪V12∴VV12∪也是V的子空间。要注意的是，两个子空间的交与集合的交的概念是一样的，但两个子空间的和与两个集合的和的概念是不同的，按照两个集合和（并）的运算法则，把两个子空间的向量放到一起，这样形成的集合不一定是V的子空间。例如，设Va=∈{(,0)aF},V={(0,b)b∈F}都是F2的子空间，122VV12与的并：{(ab,0)
4、,(0,)a,b∈F}就不是F的子空间。第六章线性空间两个子空间的交与和的概念可以推广到多个子空间的交与和的情况。设VV12,,",Vn是线性空间V的n个子空间。VV12∩∩"∩Vnn=∈{ααV1,,α∈V2",α∈V},VV12++""+Vnn={αα1+2++ααi∈Vi,1i=,",n}可以证明：有限个子空间的交与和仍是V的子空间。子空间的交与和满足交换律和结合律，即有①VV∩∩=VV1221②VV+=+VV1221③()VV12∩∩V3=V1∩∩(V2V3)④()VV12++V3=V1+(V2+V3)第六章线性空间定理6.6.2设VV12,是线性空间V的
5、两个子空间，以下三个结论等价：①VV12⊂;②VV12∩=V1;③VV12+=V2.证明：(12)⇒()若VV⊂,对∀α∈VV∩,α∈V且α∈V,121212∴VV12∩⊂V1；又对∀α∈V1,则α∈V2,故α∈VV12∩,∴VV11⊂∩V2,因此VV12∩=V1(23)⇒()若VV12∩=V1,则对∀α∈+VV12,α=αα12+,α11∈∈VV,,α22由于α11∈VV∩2,∴α12∈V于是α∈V2故VV12+⊂V2;又∀α∈V2,0,+α=∈αVV12+∴α∈+VV12,故VV⊂+V,因此VV+=V212122()31⇒()若VV+=V,对∀∈αV,α+0,
6、=∈αVV+122112∴α∈V,因此VV⊂212第六章线性空间3例6.6.1在R中用V表示一条通过原点的直线，V表示123一张通过原点且与V1垂直的平面，VV12,都是R的子空间，3这时VV12∩={0,}VV12+=R。⎧⎛⎞ab⎫⎧⎛⎞a0⎫例6.6.2设Va1=∈⎨⎜⎟,,bF⎬Va2=∈⎨⎜⎟,bF⎬⎩⎭⎝⎠00⎩⎭⎝⎠b0⎧⎛⎞a0⎫VV22×1和2都是F的子空间，这时VV12∩=∈⎨⎜⎟aF⎬,⎩⎭⎝⎠00⎧⎫⎛⎞ab22×VV+=⎨⎬⎜⎟a,,bc∈F,都是F的子空间。12⎩⎭⎝⎠c0第六章线性空间二、子空间交与和的维数定理6.6.3设α12,,α
7、α",r和β12,,ββ",s分别是线性空间V中两组向量，则有LL(α12,,αα"",rs)+=(β1,β2,,β)L(α1,",αr,β1,",βs)证：对∀∈xL(α12,,αα"",rs)+L(β1,β2,,β)x=+αβ,α∈∈LL(αα11,,""rs),β(β,,β)∴α=+kk11αα"+rr,β=ll11ββ++"ss,xk=+11α""+krrαβ+l11++lsβs∈L(α1,,"αr,β1,",βs)∴LL()α11,,""αβrs+⊂(,,β)(Lα1,,"αr,β1,",βs)又对∀∈xL(α11,,""αβrs,,,β)x=+kkα"
8、"+αβ+
