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1、现代商贸工业No.12,2010ModernBusinessTradeIndustry2010年第12期函数极限的求法探讨宋颢(张家界航空工业职业技术学院,湖南张家界427000)摘要:求函数极限的方法很复杂也有很多,在这里简要的介绍了以下十种常用方法:(1)两边夹法则;(2)两边夹法则的推广形式;(3)洛必达法则;(4)通过等式变形化为已知极限;(5)级数法;(6)用等价无穷小替换;(7)自然对数法;(8)利用积分中值定理;(9)因式分解法;(10)用变量替换。关键词:极限;求函数极限的方法中图分类号:OI文献标识码:A文章编号:167223198(201
2、0)1220360201极限论是数学分析的基础,它贯穿着整个数学分析,极3洛必达法则限问题也是数学分析中的困难问题之一。求函数(数列)的0要点(待定型)若limf(x)=0,limg(x)=0,f(x),极限方法有很多也很复杂,对于一些根据基本定义性质直0x→x0x→x0接求极限问题(如:根据定义求极限,函数和差积商的极限og(x)在x0的去心邻域U(x0)内可导,且g′(x)≠0,limx→x运算法则,利用函数连续性求函数极限等等)就不多作说明0f′(x)f(x)f′(x)了,在这里简单概括一些我们常用的求函数极限的方法。=A,则lim=lim=A。g′(
3、x)x→x0g(x)x→x0g′(x)1两边夹法则∞要点当极限不宜直接求出时,可考虑将求极限的变(待定型)若lxi→mxf(x)=∞,lxi→mxg(x)=∞f,(x),g(x)∞00量,作适当的放大和缩小,得到易于求极限且极限相等的两of′(x)在x0的去心邻域U(x0)内可导,且g′(x)≠0,lim=个新变量,则原极限存在,且等于此公共值。x→x0g′(x)例1求limx1([a]表示不大于a的最大的整数)。A,则limf(x)=limf′(x)=A。x→0xx→x0g(x)x→x0g′(x)111(x≠0)0∞00解:由于-1<≤注意:0·∞,∞-∞
4、,0,1,∞等待定型都可化为xxx01∞则有当x>0时,1-x或型,所以也可以用洛比达法则求值。x∞x1esinx-x(1+x)x≥1,例3求lim3。xx→0xxxx1esinx-x(1+x)esin+ecosx-2x-1故limx=1。解:lim3=lim2x→0xx→0xx→03xxxx2两边夹法则的推广形式=limesinx+2ecosx-esinx-2要点当使用两边夹法则时,若放大与缩小所得变量x→06xxxx的极限值不相等,但两者只相差一个任意小量,则两边夹法=limecosx-1=limecosx-esinx=1。
5、x→03xx→033则任然有效。例2设f(x)>0,在[0,1]上连续,试证limn4通过等式变形化为已知极限n→∞要点当极限不宜直接求出时,可考虑将求极限的变nni1∑f=maxf(x)。量作适当的等式变形,得到已知极限的新变量。i=1nn0≤x≤1nin1x+x+x证:令M=maxf(x),则xn=n∑f≤M例4求xl→im+∞x+1。0≤x≤1i=1nn(1)111因为f(x)在[0,1]上连续,根据闭区间连续函数的性+3+5x+x+xxxx质,vx0∈[0,1],s.t.f(x0)=M.解:xl→im+∞x+1=xl→im+∞1=于是Pε>0,vδ>
6、0当
7、x-x0
8、<δ,x∈[0,1]时,有M1+x-εM-ε.+f′(0)f″(0)2nnx+x+⋯+Rn(x)将函数展开,取有效部分1!2!nnni1i1求极限。故xn=n∑f≥nf>i-1nnnn665665例5求limx+x-x-x1x→+∞(M-ε)(2)111616nN解:原式limx(1+)-(1-)x→+∞xx1由(1)(2),有(M-ε)≤xn≤M.11111nn=xl→i
9、m+∞1+6x+ox2-1-6x+ox2=3。左端极限为M-ε,右端极限为M,由ε>0的任意性,知6用等价无穷小替换limxn=M。n→∞要点在求当时函数极限时,常用以下等价无穷小进作者简介:宋颢(1981-),女,湖南澧县人,张家界航空工业职业技术学院,助教,本科,研究方向:数学教育。—360—现代商贸工业No.12,2010ModernBusinessTradeIndustry2010年第12期图像分割方法的比较研究12刘妍君王劲柳(1.63823部队,四川绵阳621001;2.63610部队,新疆库尔勒841001)摘要:在计算机视觉的相关研究中,图像
10、分割是连接低级视觉和高级视觉的桥梁和纽带,而图像分割
