基于数学规定的“有理数乘法”教学——从数学的角度突破“负负得正”.pdf

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1、教学中学数学教学参考论教谈学时空2009年第1—2期件旬l数学规定@田窗固取昂肇●教学从数学的角度突破“负负得正，，南京师范大学数学与计算机科学学院曾小平涂荣豹和谐运转的需要．因此，“有理数乘法”的数学，要从1引言：要从数学本质出发进行“有理数乘本质人手，在理解“有理数乘法”定义本质的基础上，法”教学发现其运算法则．本文正是基于此，首先探讨“有理“有理数乘法”是初中数学的重要内容，“负负得数乘法”的数学本质，再谈谈利用数学本质进行教学正”是其中的教学难点．对随意选取的按照苏科版《数的可行性．学》①教材学习过这部

2、分内容的初中学生的调查显2对“有理数乘法”数学本质的理解示，几乎所有学生均能背诵“有理数乘法法则”，且能利用该法则进行正确计算．然而没有一个学生能说明2．1“有理数乘法”的数学规定有理数乘法的意义，也不能正确举出一个同有理数乘在自然数集上，规定乘法是数自身连加的缩写，法有关的实际例子．造成学生“不理解有理数乘法的如4+4+4：4×3—12．一般的，口×6表示6个口相实质，仅会机械套用法则进行计算”的原因是多方面加，且乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分的，这里仅谈这部分内容的教学研究情况．配律．对教研论文的研

3、究发现，“有理数乘法”的教学研有理数集上的乘法，是自然数集上乘法的拓展．究主要集中在乘法的“实例引入”[][2][3]、“历史过既要满足自然数按照有理数乘法法则运算后的结果程，，[‘和“法则证明，，[三个方面．然而这三种做法是等于按照原来自然数乘法法则运算后的结果，又要保值得推敲的，原因是与有理数乘法相关的生活实例较留乘法的运算律，即有理数集中定义的乘法仍然要满为复杂，涉及三个不同单位的量，每个量又要规定三足交换律、结合律和乘法对加法的分配律．个基准，这种复杂的关系会使得学生晕头转向。从历对于“乘数是正数”的情

4、形，即“正数乘以正数”与史上看，有理数的发现和运算分别经过了近千年的历“负数乘以正数”是比较好定义的，仍然是“有理数自史，有关这漫长历史的史料甚为贫乏，作为教学是远身的连加”，这也比较好理解．比如4×3表示3个4远不够的．有理数的运算法则是人为定义的，是不能连加，即4×3—44-44-4—12；(一4)×3表示3个“用逻辑的方式加以证明的．一4”连加，即(一4)×3一(一4)4-(一4)4-(一4)那么，应当以什么样的方式进行“有理数乘法”=一12．按照这个定义，被乘数表示连加的有理数，乘教学，突破“负负得正”

5、的教学难点呢?解决这个问数表示有理数的个数，乘积表示连加的结果．题的关键在于理解有理数乘法的数学本质：有理数对于“乘数是负数”的情形，即“正数乘以负数”与的乘法是一个数学规定，是人为的定义，它的正确性“负数乘以负数”，显然沿用“被乘数自身的连加”是不是源于逻辑证明，而是依赖于数学的特征与数学行不通的，必须做出适当的改变．如何改变呢?这要①苏科版《数学》是以水文观测中“水位变化”问题来引人有理数乘法的，让学生根据生活经验判断：假设水位每天上升(或者下降)4米，那么3天后(或者3天前)的水位比现在高(或者低)多少米

6、．“被乘数”、“乘数”和“积”在此情境中涉及3个量(水位升降的速度、时问和高度)，每个量又有3个基准(要约定基准点o、正方向与负方向)．实际上，人教版和浙教版《数学》都是采用类似的情境引入“有理数乘法”的．一毂B．“。¨I．谈警。。I¨l一。。一。illll耄挚譬一49从负数的意义人手，负数与正数表示相反意义的量，+1．可见，欧拉的证明似乎不是很讲道理，也不太能既然乘数为正数时表示“有理数自身的连加”，那么乘令人信服．为了克服这种缺陷，史宁中教授在《数学思数为负数时就可以表示“被乘数自身的连减”，这也不想概论—

7、—数量与数量关系的抽象》中，从“任何数与违背常理．比如4×(一3)表示3个4连减，即零相乘均等于零”出发，对欧拉的证明进行了补充：4×(一3)一一4—4—4一一12；(一4)X(一3)表为30一(一1)X0个“一4”连减，即(一4)X(一3)一～(～4)一(一4)一(一1)x[(一1)+(+1)]一(一4)一l2．按照这个定义，被乘数表示连减的有理一(一1)X(一1)+(一1)×(+1)数，乘数的相反数表示有理数的个数，乘积表示连减一(一1)X(～1)+(一1)的结果．因为从减法的定义知道，只有(一1)+(+1

8、)才能对于“乘数是负数”的情形，也可以理解为“被乘等于0，所以，(一1)×(一1)=+1．这种证明，第四个等数相反数的连加”，这也是基于“负数与正数表示相反号用到了欧拉曾经证明的结果“(一1)×(+1)一一1”，意义的量”的理解，将乘数的相反意义转化到被乘数第三个等号用到了乘法的分配律，而乘法法则产生之上．比如4x(一3)表示3个“一4”连加，即4×(一3)前是没有分配律的，因而，这种