基本不等式求最值为什么一定要“一正二定三相等”？.pdf

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1、基本不等式求最值为什么一定要“一正二定三相等”？昵称为“Zach”的读者朋友问到下面的问题：左老师，这道题看了解析以后总觉得怪怪的，但是又没有强有力的证据支持我的想法，所以想问问您。这道题有三点疑惑：第（1）处那里，它是同时用了两个基本不等式。请问，这里满足基本不等式中的“正、定、等”吗？不是说相加或相乘要为定值吗？但（2x-1)*1也不为定值啊。第（2）处那里，即便第（1）处没有问题，在连用两个基本不等式之后，已经是前一个式子的最小值，这里又再用一次基本不等式求最小值的最小值，合理吗？第（3）处，因为用了三次基本不等式.当然要

2、有三个当且仅当。但是，如果这里三个等式不能同时取等号又该怎么做？（当然这道题可以，有没有可能无法同时取等的时候）。最后，有没有别的易于理解的解法？谢谢！Zach，你应该是认真看过了互动的正确姿势，问的很具体，这才是合适的提问方法。这样我们的沟通效率才高。1、基本不等式求最值时，为什么要一正、二定、三相等，特别是二定。解答：一正：必须保证使用基本不等式时各字母（或式子）的值是正的，否则不能使用公式；二定：相加（求最大值时）或相乘（求最小值时）必须有一个定值，即要保证基本不等式的一边是定值，这样才能使用基本不等式求最值；三相等：只有

3、各字母（或式子）相等时，基本不等式才能取等号，才能取到最值。不知对你有否帮助?追问：不是说a的平方+b的平方是永远大于2ab的么？为什么还要a和b相等的时候，或者a乘b为定值时才可以用基本不等式？追答：基本不等式任何时候都成立，但在求最大值或最小值时，是一定要考虑取等号和定值的情况的，如：（1）利用a²+b²≥2ab求a²+b²的最小值，如果ab是的变化的数（变量），就不能说2ab是它的最小值（因为最小值是一个具体的数，一般不是变量），只有当ab是常数（定值）时，a²+b²的最小值才是一个确定的量。比如，ab=4（常数），则a²

4、+b²≥2ab＝８，所以a²+b²的最小值为8。（2）基本不等式a²+b²≥2ab中能取“＝”是求最值的关键。如已知a，b为正数且a+b=1，求a²+b²的最小值。采用下面的解法就是错误的。由基本不等式，得a²+１≥2a（1）（注：当且仅当a=1时取等号）b²+１≥2b（2）（注：当且仅当b=1时取等号）两式相加，得a²+b²+2≥2(a+b)a²+b²+２≥2a²+b²≥0所以a²+b²的最小值为0，这显然是错误的，关键原因是不等式（1）和（2）不能同时取等号。2、为什么求最值一定要“定”？童鞋们都知道，用基本不等式求最值的三

5、字诀——一正二定三相等。市面上的资料基本围绕如何满足“一正二定三相等”的条件来求最值，但是却很少讲，为什么一定要这三个条件呢？“正”字不必多说，大家好理解，这是推导基本不等式的前提条件。再来看“定”：a*b为定值，则a+b有最小值；a+b为定值，则a*b有最大值.即“积定和最小，和定积最大”。为什么一定要“定值”呢？看栗子。这样解虽然使用了基本不等式，但是右边的式子并不是定值，结果正确吗？显然，当x=2时，（9-2x）x的值等于10>9，所以上面的解法错误。错误是如何发生的呢？我们分别画出两个函数f(x)=(9-2x)x，g(x

6、)=[(9-x)/2]^2的图象。从上图我们能看出：随着x的变化，(9-2x)x、[(9-x)/2]^2也都在变化，而且(9-2x)x始终小于等于[(9-x)/2]^2。而且，当9-2x=x即x=3时，(9-2x)x等于[(9-x)/2]^2。这些都没有错！但是来了！但是取等号时的位置并不是取最值的位置！怎样能保证取等号时就是最值呢？答案是：必须定值！看正确解法：再看图象，我们画出函数两个函数f(x)=(9-2x)x，g(x)=81/8的图象。看出定值的好处来了吗？因为是定值，它的图象是一条平行于x轴的直线，这样就保证了——f(

7、x)的图象都在直线的下方，取等号的位置就是最值的问题。最后就到了“等”的要求了。无需多言，如果等号取不到，最值显然也取不到。3、可以多步到达“定”，只要多个等号能同时取得从上面的分析我们能看出，用基本不等式求最值不仅要求“一正二定三相等”，而且顺序都不能变——先要求“正”，再要求“定”，最后研究取等的条件是否满足。当然，如果只是使用基本不等式研究两个变量的不等关系，只要明白“正”和“相等”就够了。比如，我们只是比较0

8、x)x<=（9-x)^2/4，最后我们确定，当9-2x=x即x=3时，二者相等。这就为“定值”提供了另外一种路径——多步到达“定值”。画出图来，是这样的感觉。只要中间的两个等号能够同时取得，f(x)也能取得最小值。所以，你提供的答案解析是可行的。回到你的问题：如