高中数学复习 不等式基础必备(修正版).pdf

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1、不等式基础必备1、均值定理：QnAnGnHn（当且仅当a1a2...an时取等号）注解：222a1a2...anQn平方平均值：Qn；na1a2...anAn算术平均值：An；nGn几何平均值：Gnna1a2...an；nn111Hn调和平均值：Hn；即：...11...1Hna1a2ana1a2an其中，a1,a2,...an0例如：a11，a22，求Qn、An、Gn、Hn，并比较它们的大小.2212512解：Qn1.6；An1.5；2222224Gn1221.4；Hn

2、1.311213122可见：有QnAnGnHn从大到小的顺序是：平方算术，几何调和x2、指数不等式：e1x（当且仅当x0时取等号）注解：由于要求不等式右边1x0，故：x1yxye记忆方法见函数图.y1xx曲线ye在xR区间都处在直线y1xOxx的上方，仅在x0处相切.即：e1x，当且仅当x0时取等号.第1页x例如：x1时，左边e2.718，右边1x2x故：e1x3、对数不等式：lnxx1（当且仅当x1时取等号）注解：由于0和负数没有对数，所以：x0yyx1记忆方法见函

3、数图.ylnx曲线ylnx在x0区间都处在直线yx1Ox的下方，仅在x1处相切.即：lnxx1，当且仅当x1时取等号xy1也可以由e1x得：ey两边取对数：y1lny，即：lnxx1例如：xe时，左边lnxlne1，右边x1e11.7181，故：lnxx1著名的对数不等式是：xln(1x)x(x1)1x4、柯西不等式：2222222(a1a2...an)(b1b2...bn)(a1b1a2b2...anbn)a1a2an（当且仅当...时取等号）b1b2

4、bn注解：设向量A(a1,a2,...,an)，向量B(b1,b2,...,bn)，其中：a,a,...a为A在正交系中的各分量；b,b,...b为B正交系中的各分量.12n12n22222222则Aa1a2...an，Bb1b2...bn，ABa1b1a2b2...anbn由向量公式：ABABcosA,B得：ABAB222两边自乘得：AB(AB)第2页将上面的结果代入得：2222222(a1a2...an)(b1b2...bn)(a1b1

5、a2b2...anbn)这正是柯西不等式.例如：a11，a22，b13，b242222则：a11，a24，(a1a2)5；2222b19，b216，(b1b2)25；2222(a1a2)(b1b2)525125；22a1b13，a2b28，(a1b1a2b2)11121.2222(a1a2)(b1b2)12512122222故：(a1a2)(b1b2)(a1b1a2b2)5、琴生不等式：注解：⑴设在x[a,b]区间f(x)为上凸函数，如图即f(x)的二次导数f''(x)0，AB

6、f(a)f(b)ab则：f()①22Oab图中，A点为均值的函数值，B点为函数的均值.即：对于上凸函数，函数的均值不大于均值的函数值.⑵设在x[a,b]区间f(x)为下凸函数，如图即f(x)的二次导数f''(x)0，Bf(a)f(b)ab则：f()②A22Oab图中，A点为均值的函数值，B点为函数的均值.即：对于下凸函数，函数的均值不小于均值的函数值.第3页上面的①②式，称为琴生不等式.例如：对于函数f(x)sinx，在x[0,]区间为上凸函数，因为f'(x)cosx，f''(x)sinx0（x[0,]）故：f

7、(x)sinx在x[0,]区间为上凸函数.ab此时，a0，b，则A22f(a)f(0)0，f(b)f()0f(a)f(b)00OB即：0；22Aabf(a)f(b)ab而f()f()1.故：f()22222例如：二次函数f(x)x2x1因为f'(x)2x2，f''(x)20所以f(x)下凸函数.在x[0,2]区间有：f(0)1，f(2)1，f(1)0O12f(0)f(2)02即：1，f()f(1)022f(0)f(2)02故：f()22f(a)f(b)a

8、b其实，在xR区间，都满足f()22⑶推广为一般形式对于x(a,b)的上凸函数，即:f''(x)0，有：f(x1)f(x2)...f(