曲柄滑块机构运动规律实验报告.pdf

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1、学 生 实 验 报 告实验课程名称: 数学实验实 验 内 容: 曲柄滑块机构的运动规律学 生 姓 名 徐洲舟学 号 1312211108提 交 时 间: 2015 年 03 月 30 日评分标准:写作 20% 理论推导 30% 程序 20% 结果分析 20% 特色 10%成 绩指导教师 许建强曲柄滑块机构的运动规律一.实验目的本实验主要涉及微积分中对函数特性求导法的研究,通过实验复习函数、Taylor 公式和其他有关知识。着重介绍运用建立近似模型并进行数值计算来研究函数的方法。二.实际问题曲柄滑机构是一种常用的机械结构,它将曲柄的转动转化为滑块在直线上的往复远动,是压气机,冲床、活塞式水泵等机械的主结构。图 1.1 为其示意图。(图 1.1)记住柄 OQ 的长为 r,连杆 QP 的长为 l.当曲柄绕固点 O 以角速度ω旋转时,由连杆带动滑块 P 在水平槽内做往复直线运动。假设初始时刻曲柄的。

2、端点 Q 位于水平段 OP 上,曲柄从初始位置起转动的角度为θ,而连杆 QP 与 OP 的锐夹角为β(称为摆角)。在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律,确切的来说,要研究滑块的位移、速度和加速度关于θ角的函数关系,摆角β及角速度和角加速度关于θ的函数关系,进而(1)求出滑块的行程 s(即滑块往复运动时左右极限位置间的距离);(2)求出滑块的最大和最小加速度(绝对值),以了解滑块在水平方上的作用力;(3)求出β的最大和最小角的加速度(绝对值),以了解连杆转动惯量对滑块的影响。在求解上述问题时,我们假定 r=100nm,l=3r=300nm,ω=240 转/min.三、数学模型取 O 点为坐标原点,OP 方向为 x 轴正方向,P 在 x 轴上坐标为 x,那么可用 x 表示滑块位移,利用三角关系,立即得到2 2 2cos sin (1.1)x r l r   于是滑块的速度。

3、进而,可以得到滑块的加速度为同样,基于关系式我们有摆角的表达式t  (1.2)dx dx d dxdt d dt d    22 2 2sin cossin (1.3)sindx rrd l r      ddxdtdddxdtdxv 2 2 2cossin 1 (1.4)sinrrl r      dddtda 2 2 4232 2 2 2( cos2 sin )cos (1.5)( sin )r l rrl r         sin sin (1.6)l r arcsin sin (1.7)rl     式(1.6)对 t 求导,可得由此再得利用(1.6),不难由上两式导出至此,我们得到了滑块位移 x 和连杆摆角β运动规律中有。

4、关变量依赖θ的表达式。虽然我们已经得到了有关变量的解析式,但是要求出问题的解并非十分简单。由于滑块加速度和摆角角加速度的函数表达式(1.5)和(1.11)相当复杂,从这两个式子来了解这两个量并不方便,而要用它们进一步求出极值则更加不易。由于数学模型本身是对实际问题的抽象,从而也必定有某种简化和忽略。即使我们得到了问题的解析形式解,一般说来,它仍然是对实际情况的近似。为了方便起见,对较为复杂的解析模型进行近似处理常常是必要的。事实上,在曲柄连杆结构(以及不少工程问题)的研 coscoscos rdtdrdtdl  cos 1.8cosd rdt l  22 2sin cos cos sin(1.9)cosdd r dtdt l           2 2 2cos (1.10)sind rdt l r  2。

5、 2 2 2322 2 2 2sin ( ) (1.11)( sin )d r l rdt l r   究中,确实经常使用着这个方法。四、近似模型将位移表达式(1.1)改写为一般而言, 是远比 1 小的数,于是利用得到滑块位移的近似模型为从而有相应的近似速度和近似加速度这里速度和加速度是直接对近似位移模型求导得来,而不是对 v 和 a 的精确表达式(1.4)和(1.5)的近似。当然,我们也可以直接从滑块速度的解析式(1.4)进行近似。仍利用公21222sin1cos    lrlrx22lr(1 ) 1 , 1 (1.12)a a       221 cos sin (1.13)2rx r l l      2sin2sin2111 lrrdtdddxdtdxsin sin2 (1。

6、.14)2rr l      211 cos cos 2 (1.15)d ra rdt l         式(1.12)有把上式代入(1.4),就得到滑块速度的近似模型从(1.16)出发,又可得近似加速度对摆角β可以利用幂级数展开的 Maclaurin 公式得到摆角的近似模型。粗略一些,可以取而必要时,可以取  22221222222sin211sin11sin1lrllrlrl   2222 sin21cos1sin lrlrr3 23sin2 sin sin2sin (1.16)2 4r rr l l         3 2 222 3cos2 (sin 2 2sin cos2cos (1.17)4r ra r。

7、 l l          )3arcsin , 1 (1.18)6     1 sin (1.19)rl 332 3sin sin (1.20)6r rl l   相应的近似角速度为近似角加速度为五、实验任务1 试用摆角的加速度的三种的三种表达式,即(1.11)、(1.23)、(1.24),取步长为,r,l,ω的值如前,计算当θ属于【0,π】变化时角加速度的值,并以列表加以比较。已知1 cos (1.21)d rdt l  3223cos sin cos 1.222d r rdt l l        或 ()2212 sin 1.23d rdt l    ()2 32 322 3sin (sin sin 2 cos ) 1.242d r rdt l l     。

8、      或 ()122 2 2 2322 2 2 2sin ( ) (1.11)( sin )d r l rdt l r   2212 sin 1.23d rdt l    ()且 r=100nm l=3r=300nm ω=240 转/min.以 a 代表角加速度实际值,以 a1,a2 代表角加速度近似值利用公式(1.11)、(1.23)、(1.24)编制 MATLAB 的 M 文件吗 m1_1.m;function m1_1(t)..............................................................................................................建立函数变量r=100;l=300;w=240/60*2*pi;...............。

9、................................................................................................赋值已知条件a=-r*w^2*sin(t).*(l^2-r^2)./((l^2-r^2*sin(t).^2).^(3/2)).....................................................................................................编写角加速度公式方程a1=-w^2*r/l*sin(t).............................................................................................编写近似角加速度公式方程一a2=-w^2。

10、*(r/l*sin(t)+r^3/(2*l^3).*(sin(t).^3-sin(2*t).*cos(t))).................................................................................................编写近似角加速度公式方程二然后在命令窗口输入m1_1([0:pi/12:pi])可得如表 1.1 所列出的一些相应数据;θ/rad a(θ/s^2) a1(θ/s^2) a2(θ/s^2)0 0 0 01π/12 -48.9857 -54.4948 -49.04822π/12 -97.6175 -105.2758 -97.96503π/12 -144.1871 -148.8824 -144.74684π/12 -184.6798 -182.3430 -184.87555π/12 -213.0。

11、328 -203.3772 -212.40536π/12 -223.3237 -210.5516 -222.24897π/12 -213.0328 -203.3772 -212.40538π/12 -184.6798 -182.3430 -184.87559π/12 -144.1871 -148.8824 -144.746810π/12 -97.6175 -105.2758 -97.965011π/12 -48.9857 -54.4948 -49.0482π -0.0000 -0.0000 -0.0000表 1.1从表 1.1 可知,用角加速度的近似公式计算,近似公式(1.24)得到的结果普遍比近似公式(1.23)得到的结果要好,而且各个点都比较接近于实际值。2、利用(1.12)式,对摆角的角速度(1.10)式和角加速度(1.11)式进行简化,将结果与(1.21)-(1.24)式进行比较,。

12、并与上题的计算结果相比较已知可简化为可简化为以 b1,b2 代表角速度近似值,以 a2,a3 代表角加速度近似值,再编制 MATLAB 的 M 文件吗 m1_2.m;function m1_2(t)...............................................................................建立函数变量r=100;l=300;w=240/60*2*pi;............................................................................赋值已知条件b1=w*r/l*cos(t).......................................................................编写角速度近似方程一b2=r*w*cos(t。

13、)./(l-r^2*sin(t).^2./(2*l))..................................................................编写角速度近似方程二a2=-w^2*(r/l*sin(t)+r^3/(2*l^3).*(sin(t).^3-sin(2*t).*cos(t)))..............................................................编写近似角加速度公式方程二a3=-r*w^2*sin(t).*(l^2-r^2)./(l^3-3*l*r^2*sin(t).^2./2)........................................................编写近似角加速度公式方程三(1 ) 1 , 1 (1.12)a a       。

14、2 2 2cos (1.10)sind rdt l r  lrldtd2sincosr22 2 2 2 2322 2 2 2sin ( ) (1.11)( sin )d r l rdt l r   2sinl3)r-(sinr22322222rlldtd然后在命令窗口输入m1_2([0:pi/12:pi])可得如表 1.2 所列出的一些相应数据;表 1.2不过也与实际值接近。近似角加速度 a2,a3 整体接近,在 6π/12 左右差异达到最大,结合表 1.1 可知。与实际值比较近似角加速度 a3 更接近于实际值。3.给定一机构如图 1.2 所示。设连杆 QP 长度 l=300mm,曲柄 OQ 的长为 r=100mm,距离 e=20mm,曲柄的角速度ω=240 转/min.对θ在一个周期(即[0,2π])中计算滑块的位移、行程、速度。(图。

15、 1.2)由图可知位移 x又可知速度公式θ/rad b1(θ/s) b2(θ/s) b3(θ/s) a2(θ/s^2) a3(θ/s^2)0 8.3776 8.3776 8.3776 0 01π/12 8.0921 8.1223 8.1222 -49.0482 -48.98672π/12 7.2552 7.3574 7.3560 -97.9650 -97.64713π/12 5.9238 6.0931 6.0884 -144.7468 -144.37084π/12 4.1888 4.3709 4.3633 -184.8755 -185.23735π/12 2.1683 2.2868 2.2807 -212.4053 -214.06776π/12 0.0000 0.0000 0.0000 -222.2489 -224.58837π/12 -2.1683 -2.2868 -2.2807 -212.4053 -214.06778π/12 -4.1888 -4.3709 -4.3633 -184.8755 -185.23739π/12 -5.9238 -6.0931 -6.0884 -144.7468 -144.370810π/12 -7.2552 -7.3574 -7.3560 -97.9650 -97.647111π/12 -8.0921 -8.1223 -8.1222 -49.0482 -48.9867π -8.3776 -8.3776 -8.3776 -0.0000 -0.000022 )sin(cos erlrx  。

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