《材料力学》压杆稳定习题解.pdf

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1、.第九章压杆稳定习题解[习题9-1]在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a所示坐标系及挠度曲线2EI形状，导出了临界应力公式Pcr2。试分析当分别取图b,c,d所示坐标系及挠曲线形l状时，压杆在Fcr作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同，由此所得Fcr公式又是否相同。解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是"EIwM(x)。（c）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程："EIwM(x)，显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。临界力只与压杆的抗弯刚度、长

2、度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的2EI位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：Pcr2。l'..[习题9-2]图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？2EI解：压杆能承受的临界压力为：Pcr2。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，(.l)它们能承受的压力与原压相的相当长度l的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长度系数。（a）l155m（b）l0.774.9m（c）l0.594.5m（d）l224m（e）l188m（f）l0.753.5m（下段）；l0.552.5m（上段）故图e所示杆F

3、cr最小，图f所示杆Fcr最大。[习题9-3]图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性2EImin地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为Pcr2(2.l)？为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。'..螺旋千斤顶（图c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆是否偏于安全？解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座，所以它们的临界力计算公式不同。(b)为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素2，其临界2EImin

4、力为：Pcr2。但是，(a)为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素(2.l)2EImin2，因此，不能用Pcr2来计算临界力。(2.l)'..MEI为了考察（a）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B）的转动刚度C20，l且无侧向位移，则："EIwM(x)F(w)crFcr2"22令k，得：wkwkEI微分方程的通解为：wAsinkxBcoskx'wAkcoskxBksinkx'MFcr由边界条件：x0，w0，w；xl，wCCFcrFcr解得：A，B，sinklcosklCkCkC整理后得到稳定方程：kltankl20EI/l用试算法得：kl1.49622EIEI故得到压杆的临界力

5、：Fcr(1.496)2。l(2.1l)因此，长度因素可以大于2。这与弹性支座的转动刚度C有关，C越小，则值越大。当C0时，。螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以看作是固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。这种情况，2，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座MEI上）、上端自由、长度为l的压杆”算出来的临界力要小。譬如，设转动刚度

6、C20，l2Pcr固端2.1则：21.1025，Pcr固端1.1025Pcr,弹簧。因此，校核丝杆稳定性时，把它Pcr弹簧2看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆不是偏于安全，而是偏于危险。[习题9-4]试推导两端固定、弯曲刚度为EI，长度为l的等截面中心受压直杆的临界应力Pcr的欧拉公式。'..[解]：设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反力为Pcr，水平反力为0，约束反力偶矩两端相等，用Me表示，下标e表示端部end的意思。若取下截离体为研究对象，则Me的转向为逆转。M(x)Pcrv(x)Me"EIvM(x)MPv(x)ecr"EIvPv(x)Mcre2"

7、PcrMe2Pcrk1vv(x)，令k，则EIEIEIPcrEI"22MevkvkPcr上述微分方程的通解为：MevAsinkxBcoskx⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(a)Pcr'vAkcoskxBksinkxMeMe边界条件：①x0；v0：0Asin0Bcos0；B。PcrPcr'②x0v0：0Akcos0Bksin0；A0。把A、B的值代入（a）得：Me'Mev(1coskx)vksinkxPcrPcrMe边界条件：③xL；v0：0(1cos