高中数学必修5常考题型：不等关系与不等式.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯不等关系与不等式【知识梳理】1．不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．2．比较两个实数a、b大小的依据文字语言符号表示如果a＞b，那么a－b是正数；a>b?a－b>0如果a＜b，那么a－b是负数；ab?bb，b>c?a>c；(3

2、)可加性：a>b?a＋c>b＋c.a>b推论(同向可加性)：?a＋c>b＋d；c>da>ba>b(4)可乘性：?ac>bc；?ac0c<0a>b>0推论(同向同正可乘性)：?ac>bd；c>d>0nn*(5)正数乘方性：a>b>0?a>b(n∈N，n≥1)；nn*(6)正数开方性：a>b>0?a>b(n∈N，n≥2)．【常考题型】题型一、用不等式（组）表示不等关系【例1】某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往

3、返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x＋y≤9，10×6x＋6×8y≥360，[解]设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．由题意得0≤x≤4，0≤y≤7，x∈N，y∈N，x＋y≤9，5x＋4y≥30，即0≤x≤4，0≤y≤7，x∈N，y∈N.【类题通法】用不等式表示不等关系的方法(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系．(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关

4、键词连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．【对点训练】1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系：(1)限速80km/h的路标；(2)桥头上限重10吨的标志；(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不多于2.5%，蛋白质的含量p不少于2.3%.解：(1)设汽车行驶的速度为vkm/h，则v≤80.(2)设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.f≤2.5%，(3)p≥2.3%.题型二、比较两数（式）的大小【例2】比较下列各组中两个代数式的大小：2(1)x＋3与2x；3322(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a＋b与ab＋ab的大小．22

5、[解](1)(x＋3)－2x＝x－2x＋32⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2＝(x－1)＋2≥2＞0，2∴x＋3＞2x.33223322(2)(a＋b)－(ab＋ab)＝a＋b－ab－ab2222＝a(a－b)－b(a－b)＝(a－b)(a－b)2＝(a－b)(a＋b)，∵a＞0，b＞0，且a≠b，2∴(a－b)＞0，a＋b＞0.3322∴(a＋b)－(ab＋ab)＞0，3322即a＋b＞ab＋ab.【类题通法】比较两个代数式大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2

6、)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．【对点训练】322．比较x＋6x与x＋6的大小．32解：(x＋6x)－(x＋6)32＝x－x＋6x－62＝x(x－1)＋6(x－1)2＝(x－1)(x＋6)2∵x＋6＞0.2∴当x＞1时，(x－1)(x＋6)＞0，32即x＋6x＞x＋6.2当x＝1时，(x－1)(x＋6)＝0，32即x＋6x＝x＋6.2当x＜1时，(x－1)(x＋6)＜0，32即x＋6x＜

7、x＋6.3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯题型三、不等式的性质ee【例3】已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.a－cb－d[证明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，又∵a＞b＞0，∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，即a－c＞b－d＞0，11∴0＜＜，a－cb－d又∵e＜0，ee∴＞.a－cb－d【类题通法】利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2

8、)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不