高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数线及其应用.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯三角函数线及其应用【知识梳理】1．有向线段带有方向的线段叫做有向线段．2．三角函数线图示正弦线α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线余弦线有向线段OM即为余弦线过A(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段AT即正切线为正切线【常考题型】题型一、三角函数线的作法3π【例1】作出的正弦线、余弦线和正切线．43π[解]角的终边(如图)与单位圆的交点为P.4作PM垂直于x轴，垂足为M，过A

2、(1,0)作单位圆的切线AT，3π3π与的终边的反向延长线交于点T，则的正弦线为MP，余弦线为44OM，正切线为AT.【类题通法】三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯即可得到正切线AT.【对点训练】9π作出－的正弦线、余弦线和正切线．4解：如图所示，9π

3、－的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.4题型二、利用三角函数线比较大小2π4π2π4π2π4π【例2】分别比较sin与sin；cos与cos；tan与tan的大小．353535[解]在直角坐标系中作单位圆如图所示．以x轴非负半轴为始边2π作的终边与单位圆交于P点，作PM⊥Ox，垂足为M.由单位圆与Ox32π正方向的交点A作Ox的垂线与OP的反向延长线交于T点，则sin＝32π2πMP，cos＝OM，tan＝AT.334π4π4π同理，可作出的正弦线、余弦线和正切线，sin＝M′P′，cos5554π2π4π＝OM′，tan＝

4、AT′.由图形可知，MP>M′P′，符号相同，则sin>sin；OM>OM′，符5352π4π2π4π号相同，则cos>cos；AT

5、关系又如何？4ππ解：如图所示，当<α<时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在42长度上，AT>MP>OM；π3π当<α<时，角α的正弦线为M′P′，余弦线为OM′，正切线为AT′，显然在长度上，24AT′>M′P′>OM′.题型三、利用三角函数线解不等式【例3】利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围．13(1)sinα<－；(2)cosα>.221[解](1)如图①，过点0，－作x轴的平行线交单位圆于P，P′两点，则sin∠xOP＝sin2111π7π∠xOP′＝－，∠xOP＝，∠xOP′＝，2667π11π

6、故α的范围是α＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z.663(2)如图②，过点，0作x轴的垂线与单位圆交于P，P′两点，则cos∠xOP＝cos∠xOP′23ππ＝，∠xOP＝，∠xOP′＝－，266ππ故α的范围是α－＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z.66【类题通法】利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sinx≥b，cosx≥a(或sinx≤b，cosx≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定

7、相应的x的范围；对于tan3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x≥c(或tanx≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图像可得．【对点训练】3利用三角函数线求满足tanα≥的角α的范围．3解：如图，过点A(1,0)作单位圆O的切线，在切线上沿y轴正方向取3一点T，使AT＝，过点O，T作直线，则当角α的终边落在阴影区域内333(包含所作直线，不包含y轴)时，tanα≥.由三角函数线可知，在[0°，360°)内，tanα≥，333有3

8、0°≤α<90°或210°≤α<270°，故满足tanα≥，有k·180°＋30°≤α