高中理科椭圆的典型例题.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯典型例题一例1椭圆的一个顶点为A2，0，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当A2，0为长轴端点时，a2，b1，22xy椭圆的标准方程为：1；41（2）当A2，0为短轴端点时，b2，a4，22xy椭圆的标准方程为：1；416说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．2a122解：2c

2、2∴3ca，c313∴e．33说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．典型例题三例3已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线xy10交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．2x2解：由题意，设椭圆方程为y1，2axy10222由x2，得1ax2ax0，2y12a2x1x21a1∴xM2，yM1xM2，2a1ayM112kOM2，∴a4，xMa41⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2

3、x2∴y1为所求．4说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四22xy9例4椭圆1上不同三点Ax1，y1，B4，，Cx2，y2与焦点F4，0的距离成等差数列．2595（1）求证x1x28；（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．证明：（1）由椭圆方程知a5，b3，c4．AFc4由圆锥曲线的统一定义知：2，∴AFaex15x1．aa5x1c49同理CF5x2．∵AFCF2BF，且BF，554418∴5x15x2，即x1x28．555y1y2（2）

4、因为线段AC的中点为4，，所以它的垂直平分线方程为2y1y2x1x2yx4．2y1y222y1y2又∵点T在x轴上，设其坐标为x0，0，代入上式，得x042x1x2又∵点Ax1，y1，Bx2，y2都在椭圆上，292∴y125x125292y225x225229∴y1y2x1x2x1x2．25903655将此式代入①，并利用x1x28的结论得x04∴kBT．254x04典型例题五2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22xy例5已知椭圆1，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN43

5、是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M存在，设Mx1，y1，由已知条件得1a2，b3，∴c1，e．2∵左准线l的方程是x4，∴MN4x．1又由焦半径公式知：11MF1aex12x1，MF2aex12x1．222211∵MNMF1MF2，∴x142x12x1．222整理得5x132x1480．12解之得x14或x1．①5另一方面2x12．②则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在．说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根

6、据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设M2cos，3sin存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六2x211例6已知椭圆y1，求过点P，且被P平分的弦所在的直线方程．222分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k．11解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为ykx．代入椭圆方程，并整理得2222212312kx2k2kxkk0．2222k2k由韦达定理得x1x22．12k3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1∵P是弦中点，∴x1x21．故得k．2所以所求直线方程为2x4

7、y30．y1y2分析二：设弦两端坐标为x1，y1、x2，y2，列关于x1、x2、y1、y2的方程组，从而求斜率：．x1x211解法二：设过P，的直线与椭圆交于Ax1，y1、Bx2，y2，则由题意得222x12y11，①22x22y21，②2x1x21，③y1y21.④22x1x222①－②得y1y20．⑤2y1y211将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．所求直线方程为2x4y30．x1x222说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便