2011年港澳台联考数学真题.doc

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1、绝密★启用前2011年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试数学一、选择题：本大题共12小题；每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知，那么角是（）（A）第一或第二象限角（B）第三或第四象限角（C）第一或第三象限角（D）第二或第四象限角（2）设是棱长为1的正方体，则四面体的体积是（）（A）（B）（C）（D）（3）在△中，角的分别为，若，则＝（）（A）（B）（C）或（D）或（4）若复数的虚部不为零，且，则（）（A）（B）（C）（D）≥（5）若，，，则（）（A）（B）（C）（D）（6）在四面体中，，其余各棱长均为1，则二面角的余弦值为

2、（）（A）（B）（C）（D）（7）设数列的前项和，则（）（A）（B）（C）（D）（8）圆的直角坐标方程为，在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（）（A）（B）（C）（D）（9）函数的反函数为（）（A）（B）（C）（D）（10）设,为双曲线的两个焦点，为上一点，若△是等腰直角三角形，则的离心率为（）（A）（B）（C）（D）（11）若函数　在处可导，则（）（A）3（B）2（C）1（D）0（12）点是△内三点，满足设则（）（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共6小题；每小题5分.（13）若关于的方程有重根，则____________________．（14）已知两条直线，两

3、个平面，给出四个命题：　　　①若∥,，则②若∥,，则∥　　　③若∥,，则④若,∥，则　　　其中正确命题的序号是____________________．（15）设等比数列的各项都为正数，前项和为．若，则其公比为____________________．（16）在空间直角坐标系中，经过点且与直线垂直的平面方程为____________________．（17）若多项式满足，则被除所得的余式为_______________．（18）设有4张不同的卡片，若有放回地抽取4次，每次随机抽取一张，则恰好有两张卡片未被抽到的概率为____________________．三、解答题：本大题共4小题；每小题1

4、5分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（19）设函数．（Ⅰ）把写成分段函数，并求的最小值；（Ⅱ）解不等式．（20）设△为锐角三角形．证明（Ⅰ）；（Ⅱ）≤（21）设抛物线与直线交于两点，为抛物线在这两点的切线的交点．（Ⅰ）当时，求点的坐标；（Ⅱ）当变化时，求点的轨迹．（22）数列的前项和为，满足．（1）写出｛an｝的前三项（2）设bn=Sn+n+1，证明｛bn｝是等比数列（3）求｛an｝的通项公式2011年港澳台联考数学真题答案一、选择题：1—5：DBACD6—10：ADCDC11—12：AB二、填空题：13．14．①③15．16．17．18．三、解答题19．解：（Ⅰ）当时，；当时，；当

5、时，；所以，故的最小值为．（Ⅱ）当时，，这与矛盾；当时，，此时解为；当时，，此时解为．综上所述，的解为．20．解：（Ⅰ），，因为，都是锐角，所以，均大于0，所以，所以．（Ⅱ）因为，所以．为证明，不妨设，由于，所以，注意到，，因此，．21．解：设与抛物线的两交点坐标分别为，，且．（Ⅰ）当时，直线：代入抛物线方程，得，则，，过A，B的抛物线的两条切线方程为：，，联立解得，所以．（Ⅱ）将与C的方程联立，解得，，将中两切线联立，解得，所以点P的轨迹方程为：．22．解：（Ⅰ）由，，可得，．（Ⅱ）由得，即，即，所以是（Ⅲ）由（Ⅱ）得，．当时，，当时，不适合上式．所以．第3题解析：方法1：估值法，，，可以估

6、计C正确方法2：三次方程若只有一个实数解，则必有两个共轭复根，设三个根依次为z1，z2，z3，不妨设z3为实数，则由韦达定理，，则，构造函数，易知在R上单调递增，由，可知在存在零点，且零点唯一，故，，所以