2021版高考数学第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第3讲二项式定理教学案理北师大版.docx

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1、第3讲　二项式定理一、知识梳理1．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N+)．(2)通项：第k＋1项为Tk＋1＝Can－kbk．(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n)．2．二项式系数的性质常用结论1．两个常用公式(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.2．二项展开式的三个重要特征(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.3．三个易错点(1)二项式定理中，通项公式Tk＋

2、1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项．(2)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝Can－kbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关．(3)二项式系数的最值与指数n的奇偶性有关．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．二、教材衍化1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数为________．解析：Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，当k＝2时，x2的系数为C·22＝40.答案：402．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：二项式系数之和2n＝64，

3、所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C＝20.答案：203．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.答案：8一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n的展开式中的第r项是Can－rbr.(　　)(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)(3)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系

4、数与a，b无关．(　　)(4)通项Tr＋1＝Can－rbr中的a和b不能互换．(　　)(5)(a＋b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×二、易错纠偏(1)混淆“二项式系数”与“系数”致误；(2)配凑不当致误．1．在二项式，的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．解析：由题意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1.答案：－12．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________．解析：因

5、为(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，所以其展开式的通项为Tr＋1＝(－1)r210－r·C(1－x)r，令r＝8，得a8＝4C＝180.答案：1803．(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．解析：(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有x2的项为－20x2＋5x2＝－15x2.故x2的系数为－15.答案：－15　　　　　　求二项展开式的特定项或系数(师生共研)(1)在的展开式中，x2的系数为________．(2)在二项式的展开式中，若常数项为－10，则a＝________．【解析】　(1)的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r＝Cx

6、5，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C＝.(2)的展开式的通项Tr＋1＝C(ax2)5－r×＝Ca5－rx10，令10－＝0，得r＝4，所以Ca5－4＝－10，解得a＝－2.【答案】　(1)　(2)－2求二项展开式中的特定项的系数问题的步骤(1)利用通项将Tk＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项得所求．　1.的展开式中，常数项是(　　)A．－　　　　　　　B．C．－D．解析：选D.Tr＋1＝C(x2)6－r＝Cx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，所以常数项为C＝.2.的展开式中所有的有理项

7、为________．解析：二项展开式的通项为Tk＋1＝Cx，由题意∈Z，且0≤k≤10，k∈N.令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r，因为k∈N，所以r应为偶数．所以r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，－，x－2.答案：x2，－，x－2　　　　　　二项式系数与各项系数和问题(师生共研)(1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x3的系数为(　　)A．15B．