（新课改地区）2021版高考数学第九章平面解析几何9.6双曲线练习新人教B版.docx

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1、9.6双曲线核心考点·精准研析考点一　双曲线的定义及标准方程 1.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(　　)A.椭圆　B.双曲线C.抛物线D.圆2.已知圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)A.x2-=1　B.-y2=1C.x2-=1(x≤-1)　D.x2-=1(x≥1)3.(2019·长春模拟)双曲线C的渐近

2、线方程为y=±x,一个焦点为F(0,-),点A(,0),点P为双曲线第一象限内的点,则当点P的位置变化时,△PAF周长的最小值为(　　)A.8　B.10　C.4+3　D.3+34.(2020·唐山模拟)P是双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________. 5.若双曲线的渐近线方程为y=±x,且经过点(4,),则双曲线的方程为________. 【解析】1.选B.如图,连接ON,由题意可得

3、ON

4、=1,且N为MF1的中点,又O为F1F2的

5、中点,所以

6、MF2

7、=2.因为点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得

8、PM

9、=

10、PF1

11、,所以

12、

13、PF2

14、-

15、PF1

16、

17、=

18、

19、PF2

20、-

21、PM

22、

23、=

24、MF2

25、=2<

26、F1F2

27、,所以由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.2.选C.设圆M的半径为r,由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,得

28、MC1

29、=1+r,

30、MC2

31、=3+r,

32、MC2

33、-

34、MC1

35、=2<6,所以点M的轨迹是以点C1(-3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支,且2a=2,a=1,又

36、c=3,则b2=c2-a2=8,所以点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).3.选B.由已知得双曲线方程为-=1,设双曲线的另一个焦点为F′,则

37、PF

38、=

39、PF′

40、+4,△PAF的周长为

41、PF

42、+

43、PA

44、+

45、AF

46、=

47、PF′

48、+4+

49、PA

50、+3,当F′,P,A三点共线时,

51、PF′

52、+

53、PA

54、有最小值,为

55、AF′

56、=3,故△PAF的周长的最小值为10.4.(利用定义解三角形)如图所示,内切圆圆心M到各边的距离分别为

57、MA

58、,

59、MB

60、,

61、MC

62、,切点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质有

63、CF1

64、=

65、AF1

66、,

67、AF2

68、=

69、

70、BF2

71、,

72、PC

73、=

74、PB

75、,所以

76、PF1

77、-

78、PF2

79、=

80、CF1

81、-

82、BF2

83、=

84、AF1

85、-

86、AF2

87、=2a,又

88、AF1

89、+

90、AF2

91、=2c,所以

92、AF1

93、=a+c,

94、OA

95、=

96、AF1

97、-

98、OF1

99、=a.因为M的横坐标和A的横坐标相同,所以M的横坐标为a.答案:a5.方法一:因为双曲线的渐近线方程为y=±x,所以可设双曲线的方程为x2-4y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,),所以λ=16-4×()2=4,所以双曲线的标准方程为-y2=1.方法二:因为渐近线y=x过点(4,2),而<2,所以点(4,)在渐近线y=x的下

100、方,在y=-x的上方(如图).所以双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由已知条件可得解得所以双曲线的标准方程为-y2=1.答案:-y2=11.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程.在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线还是双曲线的一支,若是双曲线的一支,则需确定是哪一支.(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合

101、

102、PF1

103、-

104、PF2

105、

106、=2a,运用平方的方法,建立

107、PF1

108、与

109、PF2

110、的关系.2.

111、求双曲线标准方程的方法(1)定义法根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有:①c2=a2+b2;②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.(2)待定系数法①一般步骤②常用设法(ⅰ)与双曲线-=1共渐近线的方程可设为-=λ(λ≠0);(ⅱ)若双曲线的渐近线方程为y=±x,则双曲线的方程可设为-=λ(λ≠0);(ⅲ)若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为+=1(mn<0)或mx2+ny2=1(mn<0).秒杀绝招　求双曲线的标准方程时,若已知渐近线方程为y=±x,但不

112、知道焦点所在坐标轴,可直接设-=λ(λ≠0).例如第5题.考点二　直线与双曲线的位置关系 【典例】1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,其渐近线与圆(x-a)2+y2=a2的位置关系是________. 2.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、