2021版高考数学第四章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数教学案理北师大版.docx

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1、第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 一、知识梳理1.角的有关概念(1)从运动的角度看,角可分为正角、负角和零角. (2)从终边位置来看,角可分为象限角与轴线角.(3)若β与α是终边相同的角,则β用α表示为β=2kπ+α,k∈Z.2.弧度制(1)定义:在单位圆中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角,正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是零.(2)角度制和弧度制的互化:180°=πrad,1°=rad,1rad=°.(3)扇形的弧长公式:l=

2、α

3、r,扇形的面积公式:S=lr

4、=

5、α

6、r2.3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么y叫作α的正弦,记作sinαx叫作α的余弦,记作cosα叫作α的正切,记作tanα三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线常用结论1.一个口诀三角函数值在各象限的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.2.一个结论若α∈,则tanα>α>sinα.3.三角函数定义的推广设点P(x,y)是角α终边上任意一点且不与原点重合,r=

7、OP

8、,则sinα=,cos

9、α=,tanα=.4.象限角5.轴线角二、教材衍化1.角-225°=________弧度,这个角在第________象限.答案:- 二2.设角θ的终边经过点P(4,-3),那么2cosθ-sinθ=________. 解析:由已知并结合三角函数的定义,得sinθ=-,cosθ=,所以2cosθ-sinθ=2×-=.答案:3.一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角大小为________弧度.答案:一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角.(  )(2)三角形

10、的内角必是第一、第二象限角.(  )(3)不相等的角终边一定不相同.(  )答案:(1)× (2)× (3)×二、易错纠偏(1)终边相同的角理解出错;(2)三角函数符号记忆不准;(3)求三角函数值不考虑终边所在象限.1.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(  )A.2kπ-45°(k∈Z)    B.k·360°+π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z)D.kπ+(k∈Z)解析:选C.与的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有C正确.故选C.2.

11、若sinα<0,且tanα>0,则α是第____象限角.解析:由sinα<0知α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上;由tanα>0知α的终边在第一或第三象限,故α是第三象限角.答案:三3.已知角α的终边在直线y=-x上,且cosα<0,则tanα=________.解析:如图,由题意知,角α的终边在第二象限,在其上任取一点P(x,y),则y=-x,由三角函数的定义得tanα===-1.答案:-1      象限角及终边相同的角(自主练透)1.给出下列四个命题:①-是第二象限角;②是第三象限角

12、;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.其中正确命题的个数为(  )A.1         B.2C.3D.4解析:选C.-是第三象限角,故①错误;=π+,所以是第三象限角,故②正确;-400°=-360°-40°,所以-400°是第四象限角,故③正确;-315°=-360°+45°,所以-315°是第一象限角,故④正确,故选C.2.若角α是第二象限角,则是(  )A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角解析:选C.因为α是第二象限角,所以+2kπ<α<

13、π+2kπ,k∈Z,所以+kπ<<+kπ,k∈Z.当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角.所以是第一或第三象限角.3.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(  )解析:选C.当k=2n(n∈Z)时,2nπ+≤α≤2nπ+,此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+≤α≤2nπ+π+,此时α表示的范围与π+≤α≤π+表示的范围一样,故选C.4.在-720°~0°范围内所有与45°终边相同的角为________.解析:所有与45°终边相同的角可表

14、示为:β=45°+k×360°(k∈Z),则令-720°≤45°+k×360°<0°(k∈Z),得-765°≤k×360°<-45°(k∈Z),解得-≤k<-(k∈Z),从而k=-2和k=-1,代入得β=-675°和β=-315°.答案:-675°和-315°5.终边在直线y=x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为________.解析:如图,在坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴的夹角是,在[0,2π)内,终边在直线y=x上的角有两个:,;在[-2π,0)内满足条件的角有两个:-,-,

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