二次函数与平行四边形综合讲义学生版.doc

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1、二次函数与平行四边形综合例题精讲一、二次函数与平行四边形综合【例1】已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、轴的交点分别为，将对折，使点的对应点落在直线上，折痕交轴于点（1）直接写出点的坐标，并求过三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为，在直线上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线的交点为为线段上一点，直接写出的取值范围.【例2】如图，点是坐标原点，点是轴上一动点.以为一边作矩形，点在第二象限，且．矩形绕点逆时针旋转得矩形．过点的直线交轴于点，．抛物线过点、、且和直线交于点，过点作轴，垂足为点．⑴求的值；⑵

2、点位置改变时，的面积和矩形的面积的比值是否改变？说明你的理由．7.5.11二次函数与平行四边形综合讲义·学生版Page5of5【例1】如图1，中，，，点在线段上运动，点、分别在线段、上，且使得四边形是矩形．设的长为，矩形的面积为，已知是的函数，其图象是过点的抛物线的一部分（如图2所示）．（1）求的长；（2）当为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值．为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：张明：图2中的抛物线过点在图1中表示什么呢？李明：因为抛物线上的点是表示图1中的长与矩形面积的对应关系，那么表示当时，的长与矩形面积的对应关系.赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！

3、孔明：哦，这样就可以算出，这个问题就可以解决了.请根据上述对话，帮他们解答这个问题.【例2】如图，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点．设点是平分线上的一个动点（不与点重合）．（1）试证明：无论点运动到何处，总与相等；（2）当点运动到与点的距离最小时，试确定过三点的抛物线的解析式；（3）设点是（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；（4）设点是矩形的对称中心，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标．7.5.11二次函数与平行四边形综合讲义·学生版Page5of5【例1】如图，已知抛物线：的图象与轴相交于两点，是抛物线上的动点(不与重

4、合)，抛物线与关于轴对称，以为对角线的平行四边形的第四个顶点为．（1）求的解析式；（2）求证：点一定在上；（3）平行四边形能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由．（注：计算结果不取近似值．）【例2】如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，，．（1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于，两点(点在点的左侧)，顶点为，四边形的面积为．若点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直

5、到点与点重合为止．求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时的值；若不能，说明理由．7.5.11二次函数与平行四边形综合讲义·学生版Page5of5【例1】如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴、直线于，连结交轴于，直线交轴于．⑴求证：点为线段的中点；⑵求证：四边形为菱形；⑶除点外，直线与抛物线有无其它公共点？若有，求出其它公共点的坐标；若没有，请说明理由．【例2】如图，在平面直角坐

6、标系内，以轴为对称轴的抛物线经过直线与轴的交点和点．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）将（1）中所求抛物线沿轴平移．①在题目所给的图中画出沿轴平移后经过原点的抛物线大致图象；②设沿轴平移后经过原点的抛物线对称轴与直线相交于点．判断以为圆心，为半径的圆与直线的位置关系，并说明理由；（3）点是沿轴平移后经过原点的抛物线对称轴上的点。求点的坐标，使得以四点为顶点的四边形是平行四边形．yxABBOM7.5.11二次函数与平行四边形综合讲义·学生版Page5of5【例1】如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩

7、形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点．（1）判断点是否在轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．yxODECFAB【例2】如图，点是坐标原点，点是轴上一动点.以为一边作矩形，点在第二象限，且．矩形绕点逆时针旋转得矩形．过点的直线交轴于点，．抛物线过点、、且和直线交于点，