《高等数学》教学课件：第三节 微分的概念与应用.ppt

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1、第三章一元函数的导数、微分及其应用第一节导数的概念第二节导数的运算第三节微分的概念与应用第四节微分中值定理第五节导数的应用9/19/2021一、微分的概念二、微分的基本公式和运算法则第三节微分的概念与应用三、微分的应用2引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为y,则面积的增量为高阶无穷小时为故当x在取得增量时,变到边长由其3的微分,定义1:若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即在点可微,一、微分的概念1.微分的定义4定理:函数在点可微的充要条件是2.可微分与可导的关系（证明略）5

2、例1.求函数时函数的微分解：6通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作于是函数的微分又可记作从而导数也叫作微商7微分的几何意义切线纵坐标的增量3.微分的几何意义是曲线上的点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。8二、微分的基本公式和运算法则1.微分基本公式9设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)2.函数的和、差、积、商的微分法则10分别可微,的微分为微分形式不变则复合函数3.复合函数的微分法则11例2.求解:12三、微分的应用当很小时,使用原则:得近似等式:1.近似计算13特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得14的近似值.解:设取

3、则例3.求15的近似值.解:例4.计算162.误差估计第二章在误差估计中，通常把精确值与近似值之差的绝对值称为绝对误差（absoluteerror)或误差，而把误差与近似值之比的百分数称为相对误差（relativeerror)值的误差为故y的绝对误差限约为相对误差限约为17计算正方形的面积，并做误差估计。解：正方形的面积，当时，已知测量误差为则面积的误差为相对误差为则正方形的面积为，相对误差小于0.14％。例5.测量正方形的边长，测定值为18，求得的体积的相对误差应不超过0.14％。解：依题意有由此即边长测量值的相对误差应不超过0.1％。由公式其准确度应如何，

4、才能使例6.测量立方体的边长x，19内容小结1.微分概念微分的定义及几何意义可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:(u是自变量或中间变量)201.已知求解：因为所以思考题21方程两边求微分,得已知求解：2.22