《高等数学》教学课件：第一节 二重积分.ppt

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1、第七章重积分第一节二重积分第二节二重积分的计算第三节二重积分的应用第四节三重积分06八月2021第一节二重积分2一、二重积分的概念1、两个引例2、二重积分的定义二、二重积分的性质一、二重积分的概念定积分回顾一、二重积分的概念定积分回顾解法:类似定积分解决问题的思想:1、引例1.1曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线(directrix),母线(generatrix)平行于z轴的柱面.“大化小,常代变,近似和,求极限”求其体积一、二重积分的概念1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分

2、为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体4)“取极限”令1.2平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:二、二重积分的定义定义:将区域D任意分成n个小区域任

3、取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,引例1.1中曲顶柱体体积:引例1.2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作二、二重积分的性质(k为常数)为D的面积,则特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有7.(二重积分的中值定理)在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使连续,