《高等数学》教学课件：第一节 多元函数的极限与连续.ppt

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1、第六章多元函数的微分学第一节多元函数的极限与连续第二节偏导数第三节全微分第四节复合函数的微分法第五节二元函数微分学在几何上的应用第六节二元函数的极值27七月202121、多元函数的概念引例:圆柱体的体积三角形面积的海伦公式一、多元函数的极限与连续性3定义1.设非空点集点集D称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数是一个对应关系，使使在D上的每一个点，通过都有则称对应关系为从D到R的多元函数，记为数集R内唯一一个点z与之相对应，4例如,二元函数定义域为圆域说明:二元函数z

2、=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球52区域2.1.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为6在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.7D若点集E的点都是内点(该点的某一领域含于E)，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一

3、起称为闭区域.则称D是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。。E的边界点的全体称为E的边界,记作E;2.2.区域8例如，在平面上开区域闭区域9整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界域,界域.否则称为无103、二元函数的极限Remarks:1、定义中的“任意方式”；2、函数值无限地趋近于A；11例1.设求证：证:故12例2.设求证：证：故13解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0

4、,0)的极限.则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.例3.讨论函数144、多元函数的连续性定义3.设n元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数连续.连续,15例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.16定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如

5、下性质:17解:原式例5.求例6.求函数的连续域.解:18内容小结2.区域邻域:区域连通的开集1.多元函数概念n元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数193.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续