《高等数学》教学课件：第二节 偏导数.ppt

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1、第六章多元函数的微分学第一节多元函数的极限与连续第二节偏导数第三节全微分第四节复合函数的微分法第五节二元函数微分学在几何上的应用第六节二元函数的极值7/29/2021第二节偏导数2定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意:一、偏导数3同样可定义对y的偏导数若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或y偏导数存在,4例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)5二元函数偏导数的几何意

2、义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的6函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!7例7.求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.8例8.设证:例3.求的偏导数.解:求证9二、二阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:10类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏

3、导数,再关于y的一阶偏导数为11例9.求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数12则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)1314