《映射概念》PPT课件.ppt

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1、映射概念映射的定义映射的性质逆映射复合映射11映射的定义设A,B是任意给定的两个集合，若存在一个对应法则f，使得对于任意x∈A，均存在唯一的y∈B与它对应,则称f是A到B的一个映射，记为f:AB，且y=f(x)。一映射的定义2注意：映射f本质上定义为一个对应，这种对应有可能有解析表达式（正如我们通常见到的一样），但也可能不存在相应的表达式，如A={a,b,c},B={0,1}规则f:a对应于0，b对应于1，c对应于1。f即为A到B的一个映射。又如A为有理数集,B为实数集特征函数假定A是论域U上的集合，定义32映射的相等设f,g是

2、A到B的两个映射，若对于任意x∈A，均有f(x)=g(x),则称映射f,g是相等的，或是同一映射。43几个相关的称谓假定f:AB,y=f(x)，通常把x称为自变量，自变量的取值范围称为定义域，记为domf。将y称为因变量，而把由所有因变量构成的集合称为值域，记为ranf。对映射而言：对映射f:AB而言,必有domf=A,ranf⊆B且如前所述，把因变量y称为x在映射f下的像或函数值，记为y=f(x).5定义：设f:AB,令X⊆A，用f(X)={f(x)

3、x∈X}表示X在映射f下的像。同理令Y⊆B，用表示Y在映射f下的原像。注

4、：这里的是一个整体记号。6对于集合A和B，用(B上A)表示A到B的所有映射组成的集合，即有【例1-5】若求x1x2x3y1y27定理：对于集合A和B，若

5、A

6、=m,

7、B

8、=n，则注意:B上A的记号与该结论的关系.证明：设f:AB,对于任意的x∈A,显然f(x)可取B中n个元素中任意一个，而

9、A

10、=m,根据乘法原理，结论成立。8n元函数定义在函数定义中，若，则对任意x∈A，有,这时称f为到B的n元函数。9二映射的性质1单射定义：f:AB,若对任意,∈A，由可推出，（或），则称f是A到B的单射，或称f是A到B的一对一映射。2满射定

11、义：f:AB,若对任意y∈B，均存在x∈A，使得y=f(x)，则称f是A到B的满射，或称f是A到B的映上的映射。3双射定义：f:AB,若f既是单射又是满射，则称f是A到B的双射，或称f是A到B的一一对应。10115置换若A是有限集合，通常把A到A的双射称为A上的置换。4变换集合A到自身的映射习惯上称为A的一个变换。例1.建立一个Z到N的一一对应。例2.建立一个(0,1)到R的一一对应。例3.写出A={1,2,3}上的所有置换。12三逆映射1定义设f:AB,若将对应关系逆转，能够得到一个集合B到集合A的映射，则该映射称为f的逆

12、映射或逆函数，常称为反函数,记为。2定理设f:AB,则f的逆映射存在的充要条件是：f是双射。13看下面映射是否存在逆映射？14四复合映射定义设f:AB,g:BC，对任意的x∈A，h(x)=g(f(x))为A到C的映射，称h为f和g的复合映射或复合函数，记为f◦g。由复合函数定义知，1516恒等映射设A是集合，令f:AA,f(x)=x，称f为集合A上的恒等映射，记为。定理若f:AB是双射,则有特别地，若f:AA是双射，则有17定理设f:AB,g:BC,若f和g是单射，则f◦g是单射；若f和g是满射，则f◦g是满射；(

13、3)若f和g是双射，则f◦g是双射且有证明：(1)因为f是A到B的单射函数，所以当，∈A，,又因为g是B到C单射函数，所以；即当时，(f◦g)()≠(f◦g)()，由此可见，复合函数g◦f是单射函数同理可证明(2)与(3)。18定理设f:AB,g:BC,若f◦g是单射，则f是单射但g不一定；若f◦g是满射，则g是满射而f不一定。同理可证明(2)。19定理设f:AB，g:BC，h:CD，则由上面定理可知，当多个函数求复合时可以不加括号，即证明：对任意x∈A，由于((f◦g)◦h)(x)=h[(f◦g)(x)]=h[g(f(

14、x))]，而(f◦(g◦h))(x)=(g◦h)(f(x))=h[g(f(x))]，即有((f◦g)◦h)(x)=(f◦(g◦h))(x)。从而有(f◦g)◦h=f◦(g◦h)。20R是实数集，f、g、h是R到R的函数,分别定义为求(f◦g)◦h，f◦(g◦h)。21