《最小二乘法》PPT课件.ppt

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1、第5章线性参数的最小二乘法处理最小二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。对于从事精密科学实验的人们说来，应用最小二乘法来解决一些实际问题，仍是目前必不可少的手段。第一节最小二乘法原理最小二乘法的发展已经历了200多年的历史，它最早起源于天文和大地测量的需要，其后在许多科学领域里获得了广泛应用。特别是近代矩阵理论与电子计算机相结合。使最小二乘法不断地发展而久盛不衰。最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻求最可信赖值的问题。一、问题背景在测量的实验数据处理中，经常需要根据两个量的一批观测数据(xi，yi)，i=1，2，…，n求出这两个变量Y与X之间所满足的一个

2、函数关系式Y＝f(X)。若变量间的函数形式根据理论分析或以往的经验已经确定好了，而其中有一些参数是未知的，则可通过观测的数据来确定这些参数；若变量间的具体函数形式尚未确定，则需要通过观测数据来确定函数形式及其中的参数。一、问题背景在多数估计和曲线拟合的问题中，不论是参数估计还是曲线拟合，都要求确定某些(或一个)未知量，使得所确定的未知量能最好地适应所测得的一组观测值，即对观测值提供一个好的拟合。解决这类问题最常用的方法就是最小二乘法。在一些情况下，即使函数值不是随机变量，最小二乘法也可使用。设X和Y两个物理量之间的函数关系为假定此函数关系f已知，但其中a1，a2，…，ak等参数

3、还未求出，现对于X和Y有一批观测数据：{xi，yi}，i＝1，2，…,n，要利用这批数据在一定法则之下作出这些参数a1，a2，…，ak的估计。假设诸观测值相互独立且服从正态分布。在等精度观测的情况下，即认为各误差服从相同的正态分布N(0，σy)。现在的问题是一个参数估计问题：需要给出a1，a2，…，ak的估计值，，…，。解决这类问题最常用的方法就是最小二乘法。在一些情况下，即使函数值不是随机变量，最小二乘法也可使用。一般根据测量的实际情况，可假设变量X的测量没有误差(或与Y的误差相比很小，可略去)，而变量Y的测量有误差，故关于Y的观测值yi可以写成这里y0i表示xi对于的Y的变

4、量真值，△i表示相应的测量误差。二、最小二乘法准则与正规方程在参数估计问题中，最小二乘法的法则是：所选取的参数估计值，，…，应使变量Y的诸观测值yi与其真值的估计值(又叫拟合值)，即f(xi；a1,a2，…ak)之差的平方和为最小。用式子表示时，记残差νi为最小二乘法就是要求=最小在这个条件下，利用数学中求极值的方法可以求出参数，，…，。这样求出的参数叫参数的最小二乘估计。正规方程根据数学分析中求函数极值的条件：=最小共得k个方程，称正规方程，求此联立方程的解可得出诸参数估计值(j＝1，2，…，k)。不等精度情况下的最小二乘法以上是等精度观测的情况，若诸观测值yi是不等精度的观

5、测，即它们服从不同的方差σi2的正态分布N(0，1)，那么也不难证明，在这种情况下，最小二乘法可改为：选取的参数估值应使诸观测值yi与其估计值之差的加权平方和为最小。用式子表示就是要使=最小其中，wi为各观测值yi的权。wi＝σ2／σi2，，i＝1，2，…，n。这里σ2为任选的正常数，它表示单位权方差。不等精度情况下的最小二乘法正规方程同样地，根据数学分析中求函数极值的条件：共得k个方程，称正规方程，求此联立方程的解可得出诸参数估计值(j＝1，2，…，k)。最小二乘法的几何意义从几何图形上可看出,最小二乘法就是要在穿过各观测点(xi，yi)之间找出这样一条估计曲线，使各观测点到

6、该曲线的距离的平方和为最小。YX三、最小二乘法与最大似然法的关系如果假定各观测值是相互独立且服从正态分布，期望值是μ(xi；a1，a2，…，ak)，方差是σi2,则观测值的似然函数为最大似然法要求上式取极大值，这就相当于要求指数项中的=最小这就说明了在观测值服从正态分布的条件下，最小二乘估计与最大似然估计是一致的。观测值不服从正态分布时的最小二乘估计实质上，按最小二乘条件给出最终结果能充分地利用误差的抵偿作用，可以有效地减小随机误差的影响，因而所得结果具有最可信赖性。假若观测值不服从正态分布，则最小二乘估计并不是最大似然估计。但应该指出，在有些问题中观测值虽然不服从正态分布，但

7、当样本容量很大时，似然函数也趋近于正态分布，因此，这时使用最小二乘法和最大似然法实质也是一致的。不服从正态分布时最小二乘法的统计学性质若观测值是服从正态分布的，这时最小二乘法和最大似然法实际上是一回事。但观测值不服从正态分布或其分布未知时，这时用最小二乘法显得缺乏理论的验证。但应该指出，作为一种公理来使用，最小二乘法仍然是可以接受的，而且可以证明，所得到的估计仍然具有一些很好的统计性质，这些性质是：(1)解是无偏的，即(2)解是观测值的线性组合，且有最小方差。这称为高斯—马尔可夫定理;(3)