高中数学经典例题100道.doc

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1、例1判定以下关系是否正确(2){1，2，3}＝{3，2，1}(4)0∈{0}分析空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空．例2列举集合{1，2，3}的所有子集．分析子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．________．分析A中必含有元素a，b，又A

2、是{a，b，c，d}真子集，所以满足条件的A有：{a，b}，{a，b，c}{a，b，d}．答共3个．说明：必须考虑A中元素受到的所有约束．[]分析作出4图形．答选C．说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．点击思维例5设集合A＝{x

3、x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y

4、y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系式中正确的是[]分析问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上x＝5－4a＋a2＝(2－a)2＋1≥1，y＝4b2＋4b＋2＝(2b＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A＝B．答选A．说明：要注

5、意集合中谁是元素．M与P的关系是[]A．M＝UP　　　　　　　　　　　　　　B．M＝P分析可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：M＝UN＝U(UP)＝P；三是利用画图的方法．答选B．说明：一题多解可以锻炼发散思维．例7下列命题中正确的是[]A．U(UA)＝{A}分析D选择项中A∈B似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．是由这所有子集组成的集合，集合A是其中的一个元素．∴A∈B．答选D．说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意．例8已知集合A＝{2，4，6，8，9}，

6、B＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C．分析逆向操作：A中元素减2得0，2，4，6，7，则C中元素必在其中；B中元素加2得3，4，5，7，10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7．答C＝{4}或{7}或{4，7}．说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．例9设S＝{1，2，3，4}，且M＝{x∈S

7、x2－5x＋p＝0}，若SM＝{1，4}，则p＝________．分析本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于SM＝

8、{1，4}，∴M＝{2，3}则由韦达定理可解．答p＝2×3＝6．说明：集合问题常常与方程问题相结合．例10已知集合S＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{

9、a＋1

10、，2}，SA＝{a＋3}，求a的值．S这个集合是集合A与集合SA的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．解由补集概念及集合中元素互异性知a应满足在(1)中，由①得a＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．在(2)中，由①得a＝－3，a＝2，分别代入②③④检验，a＝－3不合②，故舍去，a＝2能满足②③④．

11、故a＝2符合题意．说明：分类要做到不重不漏．[]A．M＝ND．M与N没有相同元素分析分别令k＝…，－1，0，1，2，3，…得答选C．说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是（）．A．过直线外一点作与该直线垂直的直线B．过直线外一点与该直线平行的平面C．过平面外一点与平面平行的直线D．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相

12、交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面，这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C．过此点作平面任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．D．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面，这样在经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直

13、线与已知直线垂直相矛盾．故选D．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一