解决解析几何问题的三个关.doc

《解决解析几何问题的三个关.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、解决解析几何问题的三个关湖南祁东中等职业学校周子云湖南祁东育贤中学周友良㈠翻译关例1.已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）的最小值；（2）的最小值和最大值。解：（1）如图1，A为椭圆的右焦点，作PQ⊥右准线于点Q，则由椭圆的第二定义，图1问题转化为在椭圆上找一点P，使其到点B和右准线的距离之和最小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。

2、即。当P到P”位置时，，有最大值，最大值为；当P到P’位置时，，有最小值，最小值为。思考：言外之意，弦外之音，你明白了没有？“换一种说法”可是等价转化中很重要的一招呵。例2．设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。分析：（Ⅰ）易得椭圆的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.∵M点在椭圆上，∴y0＝（4－x02）.①又点M异于顶点A、B，∴－2

3、<2，由P、A、M三点共线可以得P（4，）.从而＝（x0－2，y0），＝（2，）.∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）.②将①代入②，化简得·＝（2－x0）.∵2－x0>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），则－2

4、＋y1y1又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝，而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，∴，即y2＝又点M在椭圆上，则，即于是将、代入，化简后可得－＝.从而，点B在以MN为直径的圆内。点评：此题的证明思路为证明B点在以MN为直径的圆内∠MBN为钝角∠MBP为锐角·>0所以解这题的思路本质是对上述母题的向量方法的充分理解。本题过好翻译转化关是解决问题的关键。㈡运算关例3.已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。由方程组消去后得由，得（1）又

5、P、Q在直线上，把（1）代入，得，即化简后，得（4）由，得把（2）代入，得，解得或代入（4）后，解得或由，得。所求椭圆方程为评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。例4．已知双曲线x2－2y2＝4。求以P(4，1)为中点的双曲线的弦AB所在的直线的方程。解法一：(设斜率k，求交点)设过点P的弦AB的方程为：y－1＝k(x－4)代入－＝1得(1－2k2)x2＋4k(4k－1)x－32k2＋16k－6＝0①又P为AB

6、之中点＝4解得k＝2故AB所在的直线方程为：2x－y－7＝0解法二：(设而不求)设A(x1，y1)，B(x２，y２)则由A、B两点都在双曲线上，有－＝①－＝1②②－①得＝0由于P是AB之中点∴＝4　　＝1代入上式得kAB＝＝2∴AB所在直线的方程为2x－y－7＝0解法三：(设而不求)设A(x1，y1)∵AB的中点是(4，1)∴B(8－x1，2－y1)∵AB都在双曲线上(1)－(2)得：16x1－8y1－56＝0→2x－y－7＝0解法四：（参数方程法）设AB所在的直线方程为：代入椭圆方程并整理得∵　P(4,1)为弦的中点，∴　即　即

7、　k=2故AB所在的直线方程为：2x-y-7=0㈢思路关解析几何综合题是高考命题的热点内容之一.这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。据此笔者认为：解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维.即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿.而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算

8、难关.例5．设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个