基本不等式知识点归纳.doc

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1、基本不等式知识点归纳1．基本不等式(1)基本不等式成立的条件：(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．[探究]　1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？提示：①当时，取等号，即②仅当时，取等号，即2．几个重要的不等式3．算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知则(1)如果积是定值那么当且仅当时，有最小值是(简记：积定和最小)．(2)如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值是(简记：和定积最大)．[探究]　2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？提示：当

2、等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，在时的最小值，利用单调性，易知时[自测·牛刀小试]1．已知且则的最小值为(　　)A．18　　　　　　　　　　B．36C．81D．243解析：选A　因为m>0，n>0，所以m＋n≥2＝2＝18.2．若函数在处取最小值，则(　　)A．1＋　　　B．1＋　　　C．3　　　D．43．已知则的(　　)A．最小值为8B．最大值为8C．最小值为D．最大值为4．函数的值域为____________________．5．在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于、两点，则线段长的最小值是________．利用基本不等式证明不等式[例1]　

3、已知求证：保持例题条件不变，证明：＋≤2.———————————————————利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．1．已知求证：利用基本不等式求最值[例2]　(1)(2012·浙江高考)若满足则的最小值是(　　)A.　　　　　　B.C．5D．6(2)已知则的最大值为________．———————————————————应用基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值时，要注意其必

4、须满足的三个条件：(1)一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．1．(1)函数的图象过定点若点在直线上，求的最小值；(2)若正数满足求的取值范围．利用基本不等式解决实际问题[例3]　为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)万件与年促销费用万元满足(为常数)．如果不搞促销

5、活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2014年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；(2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？———————————————————解实际应用题时应注意的问题(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有

6、意义的自变量的取值范围)内求.(4)有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值.3．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使

7、明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．1个技巧——公式的逆用运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如逆用就是逆用就是等，还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．2个变形——基本不等式的变形(1)(1)3个关注——利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运