【南京一轮习】第6课 直接证明与间接证明.doc

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1、第6课直接证明与间接证明※考纲链接（1）掌握分析法和综合法的思考过程以及分析法和综合法证明问题的一般步骤；（2）了解反证法的基本原理．【课前自主探究】※教材回归◎基础重现：1.直接证明的理解：从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性，叫直接证明，常用的直接证明的方法有综合法与分析法.(1)综合法：，这样的证明方法叫做综合法，其推理过程可用框图表示为：（2）分析法：，这样的证明方法叫做分析法，其推理过程可用框图表示为：得到一个明显成立的条件2.间接证明的理解：（1）间接证明：从否

2、定命题的结论入手，推演出，从而肯定原命题成立的方法叫做间接证明，常用的间接证明的方法是反证法.(2)反证法：从假设结论不成立入手，推出与已知条件、公理、定理或显然成立的事实等矛盾的结果，从而判定，结论成立，这种证明方法叫做反证法．(3)运用反证法证明数学命题的一般步骤：①审题：弄清命题的条件与结论；②反设：假设命题的结论不成立；③归谬：从反设出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；④存真：由矛盾结果，得出反设不成立，从而肯定原结论成立.基础重现答案：1.（1）从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到

3、待证的结论；（2）从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.2.（1）矛盾；（2）假设错误．9◎思维升华：1.要证明+＜2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（填序号）.①反证法②分析法③综合法2.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的条件.3.A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎．则C必定是在撒谎，为什么？思维升华答案：1．②.2.．充分．3.分析:假设C没有撒谎,则C真.那么A撒谎且B撒谎;由A撒谎,知B没有撒谎.这与B撒谎矛盾.那

4、么假设C没有撒谎不成立;所以C必定是在撒谎.※基础自测1.设，，则“”是“同时大于零”的条件.答案：充要解析：当时，要么都正，要么两负一正，当时，两不等式相加，得，这与矛盾，所以不成立，同理，或也都不成立，所以都正；所之同时大于零时一定成立．所以“”是“同时大于零”的充要条件.2.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是.①假设都是偶数②假设都不是偶数③假设至多有一个偶数④假设至多有两个偶数答案：②解析：“中至少有一个是偶数”的否定是“都不是偶数”．①③

5、④均没有将“中至少有一个是偶数”进行否定．3.若二次函数的最小值为，则.答案：1解析：因为，所以，解之得1.94.如果，那么实数应满足的条件是.答案：解析：，所以实数应满足的条件是.5.在ΔABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为，且A，B，C成等差数列，也成等差数列，求证：ΔABC为等边三角形．证明：由A，B，C成等差数列知，，由余弦定理知，又也成等差数列，∴，代入上式得，整理得，∴，从而，而，则，从而ΔABC为等边三角形．【课堂师生共探】※经典例题○题型一综合法例1如果一个数列的各项都是实数，且从第二项

6、起，每一项与它相邻前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．（1）若数列既是等方差数列又是等差数列，证明该数列为常数列；（2）已知数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，令，求的值；分析：（1）由等方差数列的定义，得到递推式，再由等差数列的定义得到，两者结合可得．（2）由等方差数列的定义可得代入函数式，用错位相减法得的值．解：（1）是等差数列，设公差为d，则，又是等方差数列，，既，即为常数列．（2）由题意知，数列是以首项为1，公方差为2的等方差数列，则①②①-②得9．点

7、评：（1）本题是用综合法求解的，充分利用了已有的定义、定理等通过不断探索必要条件，最后得到结论；(2)综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法．变式训练：已知数列中，是它的前n项和，并且（n=1，2，…），.设(n=1,2,…)，求证：数列是等比数列．证明：∵，∴，两式相减，得(n=1,2,…),即,变形得，∵(n=1,2,…),∴，又，由此可知，数列是以，公比为2的等比数列.○题型二分析法例2已知求证：.分析：所给的条件简单，直接用综合法证明，思路不

8、太清晰，故采用分析法证明.证明；要证，只要证，，故只要证，即只要证，从而只要证，只要证，即，而该不等式显然成立，故原不等式成立.点评：（1）9分析法是数学中常用到的一种直接证明方法，即先假设所要证明的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题或是要证命题的已知条件时，则所证命题得证；(2)分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要