线性控制理论-系统运动的稳定性.ppt

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1、5.1内部稳定性与外部稳定性5.2李雅普诺夫稳定性的定义5.3李雅普诺夫第二法的主要定理5.4构造李雅普诺夫函数的规则化方法5.5线性系统的稳定性分析5.6Matlab问题本章小结第五章系统运动的稳定性本章简介本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。主要介绍内部稳定性和李雅普诺夫稳定性的定义以及分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法;着重讨论李雅普诺夫第二法及其在非线性系统的应用、李雅普诺夫函数的构造。5.1内部稳定性与外部稳定性一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统。例如,电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。具有稳定性的系统称为稳定系统。

2、稳定性的定义为:当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在外扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。如果一个系统不具有上述特性,则称为不稳定系统实际上,控制系统的稳定性,通常有两种定义方式:外部稳定性:是指系统在零初始条件下通过其外部状态,即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。经典控制理论讨论的有界输入有界输出稳定(BIBO)即为外部稳定性。(书P213定义5.1)在经典控制理论中,许多稳定性判据如劳斯-赫尔维茨判据和奈奎斯特判据等,都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法。线性系统的输入输出稳定性取决于其特征方程的根,与初始条件和扰动都无关,而非线性系统则不然。外部

3、稳定性只适用于线性系统,内部稳定性不但适用于线性系统,而且也适用于非线性系统。内部稳定性:是关于动力学系统的内部状态变化所呈现稳定性,即系统的内部状态稳定性。(书P216定义5.2)本节讨论的李雅普诺夫稳定性即为内部稳定性。内部和外部稳定性的关系在经典控制理论中所定义的稳定性是指输入输出稳定性,即给定有界输入,产生的输出亦有界。而李雅普诺夫稳定性讨论的系统状态在平衡态邻域的稳定性问题。就一般系统而言,两种稳定性没有必然的联系,对于同一个线性系统,只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。(P217结论5.7-5.9)对于线性定常系统,则有结论如下:若该线性定常系统是渐近稳定的,则一定是输入

4、输出稳定的,反之,则不尽然。5.2李雅普诺夫稳定性的定义早在1892年,俄国学者李雅普诺夫(1857–1918)发表题为“运动稳定性一般问题”的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论。李雅普诺夫把分析一阶常微分方程组稳定性的所有方法归纳为两类。第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化,然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来讨论原非线性系统的稳定性问题。这是一种较简捷的方法,与经典控制理论中判别稳定性方法的思路是一致的。该方法称为间接法,亦称为李雅普诺夫第一法。第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来分析判别稳定

5、性。由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第二种方法称为直接法,亦称为李雅普诺夫第二法。自治系统、平衡状态和受扰运动自治运动(P219定义5.3)平衡状态(P220定义5.4)受扰运动(P220定义5.5)1.平衡态设我们所研究的系统的状态方程为x’=f(x,t)其中x为n维状态变量;f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性向量函数。对该非线性系统,其平衡态的定义如下。定义5-1动态系统x’=f(x,t)的平衡态是使f(x,t)0的状态,并用xe来表示。从定义5-1可知,平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点(状态)。由于导数表示的状态的运动变化方向,因此平衡

6、态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态,如上图所示。显然,对于线性定常系统x’=Ax的平衡态xe是满足下述方程的解。Axe=0当矩阵A为非奇异时,线性系统只有一个孤立的平衡态xe=0;而当A为奇异时,则存在无限多个平衡态,且这些平衡态不为孤立平衡态,而构成状态空间中的一个子空间。对于非线性系统,通常可有一个或几个孤立平衡态,它们分别为对应于式f(x,t)0的常值解。对于孤立平衡态,总是可以通过坐标变换将其移到状态空间的原点。因此,不失一般性,为了便于分析,我们常把平衡态取为状态空间的原点。例如,对于非线性系统其平衡态为下列代数方程组的解,即下述状态空间中的三个状态为其孤立平衡态。图5-1

7、定义5-2(李雅普诺夫稳定性)若状态方程x’=f(x,t)所描述的系统,对于任意的>0和任意初始时刻t0,都对应存在一个实数(,t0)>0,使得对于任意位于平衡态xe的球域S(xe,)的初始状态x0,2.李雅普诺夫意义下的稳定性当从此初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球域S(xe,)内,则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳定的。上述定义说明,对应于平衡态xe的每一个球域S(xe,),一定存

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