线性代数 矩阵的秩.ppt

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1、第二讲矩阵的秩我们已经知道给定一个mn矩阵A它的标准形由数r完全确定这个数也就是A的行阶梯形中非零行的行数这个数便是矩阵A的秩上页下页铃结束返回首页11214211122311236979Ak阶子式在mn矩阵A中任取k行与k列(kmkn)位于这些行列交叉处的k2个元素不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式称为矩阵A的k阶子式例如1131D是A的一个二阶子式11214211122311236979A下页说明矩阵的秩设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D

2、且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0那么D称为矩阵A的最高阶非零子式数r称为矩阵A的秩记作R(A)并规定零矩阵的秩等于0矩阵A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高阶数(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0则R(A)s若A中所有t阶子式全为0则R(A)t(2)若A为mn矩阵则0R(A)min{mn}(3)R(AT)R(A)几个简单结论下页矩阵的秩设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0那么D称为矩阵A的最高阶非零子式数r称为矩阵A的秩记作

3、R(A)并规定零矩阵的秩等于0(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0则R(A)s若A中所有t阶子式全为0则R(A)t(2)若A为mn矩阵则0R(A)min{mn}(3)R(AT)R(A)几个简单结论(4)对于n阶矩阵A当

4、A

5、0时R(A)n当

6、A

7、0时R(A)n可逆矩阵又称为满秩矩阵不可逆矩阵(奇异矩阵)又称为降秩矩阵下页提示例1求矩阵A和B的秩其中在A中容易看出一个2阶子式A的3阶子式只有一个

8、A

9、经计算可知

10、A

11、0因此R(A)2解以三个非零行的首非零元为对角元

12、的3阶子式是一个上三角行列式它显然不等于0因此R(B)3B是一个有3个非零行的行阶梯形矩阵其所有4阶子式全为零对于行阶梯形矩阵它的秩就等于非零行的行数下页定理1若A~B则R(A)R(B)根据这一定理为求矩阵的秩只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩下页因为解例2求矩阵A的秩并求A的一个最高阶非零子式其中所以R(A)3为求A的最高阶非零子式考虑由A的1、2、4列构成的矩阵因为A0的子式所以这个子式是A的最高阶非零子式>>>>>>下页注以B为增广矩阵的

13、线性方程组Axb是无解的这是因为行阶梯形矩阵的第3行表示矛盾方程01例3求矩阵A及B(Ab)的秩其中对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵设B的行阶梯形矩阵为B0(A0b0)则A0就是A的行阶梯形矩阵故从B0(A0b0)中可同时看出R(A)及R(B)解因为所以R(A)2R(B)3>>>下页例4设已知R(A)2求与的值解因R(A)2故下页(6)R(AB)R(A)R(B)(5)max{R(A)R(B)}R(AB)R(A)R(B)特别地当Bb为列向量时有R(A)

14、R(Ab)R(A)1(4)若P、Q可逆则R(PAQ)R(A)>>>这是因为(ABB)~(AB)于是下页R(ABB)R(AB)R(AB)R(A)R(B)矩阵秩的性质(1)0R(Amn)min{mn}(2)R(AT)R(A)(3)若A~B则R(A)R(B)因为A的最高阶非零子式总是(AB)的非零子式所以R(A)R(AB)同理有R(B)R(AB)两式合起来即为max{R(A)R(B)}R(AB)设R(A)rR(B)s把A和B分别作列变换化为列阶

15、梯形则A0和B0中分别含有r个和s个非零列因为A~A0B~B0所以(AB)~(A0B0)由于(A0B0)中只含有rs个非零列所以R(A0B0)rs而R(AB)R(A0B0)故R(AB)rs即R(AB)R(A)R(B)证明性质max{R(A)R(B)}R(AB)R(A)R(B)返回矩阵秩的性质(8)若AmnBnlO则R(A)R(B)n(7)R(AB)min{R(A)R(B)}(6)R(AB)R(A)R(B)(5)max{R(A)R(B)}

16、R(AB)R(A)R(B)特别地当Bb为列向量时有R(A)R(Ab)R(A)1(4)若P、Q可逆则R(PAQ)R(A)>>>下页(1)0R(Amn)min{mn}(2)R(AT)R(A)(3)若A~B则