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1、实验五FIR数字滤波器的设计一:实验目的(1)掌握用窗函数法，频率采样法及优化设计法设计FIR滤波器的原理及方法，熟悉响应的matlab编程；(2)熟悉线性相位FIR滤波器的幅频特性和相频特性；(3)了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。二:实验原理:（一）线性相位实系数FIR滤波器按其N值奇偶和h(n)的奇偶对称性分为四种：1、h(n)为偶对称，N为奇数;H(ejω)的幅值关于ω=0，π，2π成偶对称。2、h(n)为偶对称，N为偶数;H(ejω)的幅值关于ω=π成奇对称，不适合作高通。3、h(n)为奇对称，N为奇数;H(ejω)的幅值关于ω=0，π，
2、2π成奇对称，不适合作高通和低通。4、h(n)为奇对称，N为偶数;H(ejω) ω=0、2π＝0，不适合作低通。(二) 窗口法窗函数法设计线性相位FIR滤波器步骤l确定数字滤波器的性能要求：临界频率{ωk}，滤波器单位脉冲响应长度N；l根据性能要求，合理选择单位脉冲响应h(n)的奇偶对称性，从而确定理想频率响应Hd(ejω)的幅频特性和相频特性；l求理想单位脉冲响应hd(n)，在实际计算中，可对Hd(ejω)按M(M远大于N)点等距离采样，并对其求IDFT得hM(n)，用hM(n)代替hd(n)；l选择适当的窗函数w(n)，根据h(n)=hd(n)w(
3、n)求所需设计的FIR滤波器单位脉冲响应；l求H(ejω)，分析其幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式或长度N，重复上述设计过程，以得到满意的结果。 窗函数的傅式变换W(ejω)的主瓣决定了H(ejω)过渡带宽。W(ejω)的旁瓣大小和多少决定了H(ejω)在通带和阻带范围内波动幅度，常用的几种窗函数有：（1）矩形窗(RectangleWindow)（2）汉宁(Hanning)窗，又称升余弦窗（3）汉明(Hamming)窗，又称改进的升余弦窗（4）布莱克曼(Blankman)窗，又称二阶升余弦窗（5）凯塞(Kaiser)窗其中：β是一个可选参数
4、，用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系，一般说来，β越大，过渡带越宽，阻带越小衰减也越大。I0(·)是第一类修正零阶贝塞尔函数。若阻带最小衰减表示为，β的确定可采用下述经验公式：（三）频率采样法频率采样法是从频域出发，将给定的理想频率响应Hd(ejω)加以等间隔采样，然后以此Hd(k)作为实际FIR数字滤波器的频率特性的采样值H(k),由H(k)通过IDFT可得有限长序列h(n)，然后进行DTFT或Z变换即可得H(ejω)（四）FIR滤波器的优化设计 FIR滤波器的优化设计是按照最大误差最小化准则，使所设计的频响与理想频响之间的最大误差，在通带和阻
5、带范围均为最小，而且是等波动逼近的。为了简化起见，在优化设计中一般将线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应的对称中心置于n=0处，此时，线性相位因子α=0。令N=2M+1，则如希望逼近一个低通滤波器，这里M，和固定为某个值。在这种情况下有定义一逼近误差函数：E(ω)为在希望的滤波器通带和阻带内算出的误差值，W(ω)为加权函数，K应当等于比值δ1/δ2，δ1为通带波动，δ2为阻带波动。在这种情况下，设计过程要求
6、E(ω)
7、在区间和的最大值为最小，它等效于求最小δ2。根据数学上多项式逼近连续函数的理论，用三角多项式逼近连续函数，在一定条件下存在最佳逼近的三角多
8、项式，而且可以证明这个多项式是唯一的。这一最佳逼近定理通常称作交替定理。在逼近过程中，可以固定K，M，和，而改变δ2，按照交替定理，首先估计出(M+2)个误差函数的极值频率，i=0,1,...,M+1，共计可以写出(M+2)个方程式中ρ表示峰值误差。一般仅需求解出ρ，接着便可用三角多项式找到一组新的极值频率点，并求出新的峰值误差ρ。依此反复进行，直到前、后两次ρ值不变化为止，最小的ρ即为所求的δ2。这一算法通常称作雷米兹(Remez)交替算法。三、实验内容及步骤上机实验内容：（1）N=45，计算并画出矩形窗、汉明窗、布莱克曼窗的归一化的幅度谱，并比较各
9、自的主要特点。主要代码如下：（下同）w1=rectwin(N);plot(n,w1,n,w2,'-.',n,w3)[h1,w]=freqz(w1,N);plot(w/pi,20*log10(abs(h1)),w/pi,20*log10(abs(h2)),'-.',w/pi,20*log10(abs(h3)))运行结果如下：分析：矩形窗函数具有最窄的主瓣宽度，但有最大的旁瓣峰值；汉明窗函数的主瓣稍宽，而旁瓣较小；布莱克曼窗函数则更甚之。矩形窗设计的滤波器过渡带最窄，但是阻带最小衰减也最差；布莱克曼窗设计的滤波器阻带衰减最好，过度带最宽，约为矩形窗设计的的
10、三倍。汉明窗设计的滤波器处于矩形窗和布莱克曼窗之间。（1）N=15，带通滤波器的两个通带边界分
