初一数学竞赛试题一讲解学习.doc

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1、初一奥赛自测题一甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？S的末四位数字的和是多少？4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．5．求和：6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．8.若a、b、c均为整数，且∣a－b∣3＋∣c－a∣2＝1，求∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣的值。9．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除。10．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，M

2、N的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半。　　　所以　　　　x=5000(元)．　　　　所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．3．因为　　　a-b≥0，即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则　　有　　由②有　　　　　　　　　　2x+y=20，　　　　　　　　　　③　　由①有y=12-x．将之代入③得2x+12-x=20．　　所以　　　　x=8(千米)，于是y=4(千米)．5．第n项为　　所以　　　　　　　　　　　　　　

3、　　　　　　　6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．7．设　　由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)．　　可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．(1)若m=1时，有解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．(2)若m=2时，有因为2p-1=2q或2q-1=2p

4、都是不可能的，故m=2时无解．(3)若m=3时，有解之得故p＋q=8．　　8.解:∵∣a－b∣3＋∣c－a∣2＝1,并且a、b、c均为整数∴∣a－b∣和∣c－a∣=0或1∴当∣a－b∣=1时∣c－a∣=0,则c=a,∣c－b∣=1∴∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣=0+1+1=2当∣a－b∣=0时∣c－a∣=1,则b=a,∣c－b∣=1∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣=1+1+0=29．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3

5、是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．10．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以　　　上述两式相加　　另一方面，S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP．　　因此只需证明S△AND＝S△CNP＋S△DNP．　　由于M，N分别为AC，BD的中点，所以S△CNP=S△CPM-S△CMN　　=S△APM-S△AMN　=S△ANP．　　又S△DNP=S△BNP，所以S△

6、CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．初一奥赛自测题二1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值。2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件。试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？3．如图1－96所示。已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°。求证：DA⊥AB。4．已知方程组的解应为一个学生解题时把c抄错了，因此

7、得到的解为求a2＋b2＋c2的值。5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解。6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(已知一年期定期储蓄年利率为5.22％)7．对k，m的哪些值，方程组至少有一组解？8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解。9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友。水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20

8、分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000　　　　　=2x×1＋3×1-2x+2000　　　　　=2003．2．原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件